Σελίδα 1 από 1

Ελάχιστο

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιουν 05, 2020 11:17 pm
από Tolaso J Kos
Ίσως να μην είναι στο κατάλληλο φάκελο . Αν είναι , ας μεταφερθεί.


Για κάθε n \in \mathbb{N} ορίζουμε την οικογένεια συναρτήσεων:

\displaystyle{f_n (x) = \prod_{k=1}^{n} \left ( \cos^{2^{k+1}} x + \sin^{2^{k+1}} x  \right )}
Να προσδιοριστεί το ελάχιστο της κάθε f_n καθώς και οι τιμές του x για τις οποίες αυτό επιτυγχάνεται.

Re: Ελάχιστο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 07, 2020 2:24 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Ιουν 05, 2020 11:17 pm
Ίσως να μην είναι στο κατάλληλο φάκελο . Αν είναι , ας μεταφερθεί.


Για κάθε n \in \mathbb{N} ορίζουμε την οικογένεια συναρτήσεων:

\displaystyle{f_n (x) = \prod_{k=1}^{n} \left ( \cos^{2^{k+1}} x + \sin^{2^{k+1}} x  \right )}
Να προσδιοριστεί το ελάχιστο της κάθε f_n καθώς και οι τιμές του x για τις οποίες αυτό επιτυγχάνεται.
Να σημειώσω ότι έσβησα προηγούμενη ανάρτηση μου για το θέμα.
Ειχα κάνει κάποιες παρατηρήσεις για τον φάκελο.
Είχα διαβάσει λάθος την εκφώνηση.

Να δώσω λύση να τελειώνει.
Είναι γνωστό ότι για
n\geq 2,a,b\geq 0
ισχύει
\displaystyle a^{n}+b^{n}\geq 2(\frac{a+b}{2})^{n}
με ισότητα για a=b
Αν το εφαρμόσουμε για
\displaystyle a=(\sin x)^2,b=(\cos x)^2,n=2^{k}
βρίσκουμε ότι η ελάχιστη τιμή είναι
\displaystyle 2^{n+2-2^{n+1}}
και την παίρνει αν και μόνο αν
\left | \cos x \right |=\left | \sin x \right |

Από ότι φαίνεται είναι για πολύ πιο κάτω φάκελο