Ολοκλήρωμα με κλασματικό μέρος

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4384
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα με κλασματικό μέρος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιουν 05, 2020 11:13 pm

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle \mathcal{J} = \int_0^1 \int_0^1 \left\{ \frac{e^x}{e^y} \right\} \, \mathrm{d}(x, y)
όπου \{ \cdot \} το κλασματικό μέρος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με κλασματικό μέρος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιουν 08, 2020 3:27 pm

Σπάζουμε τo ολοκλήρωμα στα εξής τέσσερα ολοκληρώματα

1) \displaystyle \int_{0}^{1} \int_{0}^{y}   \{e^{x-y}\}\,\mathrm{d}x  \,\mathrm{d}y
2) \displaystyle \int_{1-\log{2}}^{1} \int_{y}^{1}   \{e^{x-y}\}\,\mathrm{d}x  \,\mathrm{d}y
3) \displaystyle \int_{0}^{1-\log{2}} \int_{y}^{y+\log{2}}   \{e^{x-y}\}\,\mathrm{d}x  \,\mathrm{d}y
4) \displaystyle \int_{0}^{1-\log{2}} \int_{y+\log{2}}^{1}   \{e^{x-y}\}\,\mathrm{d}x  \,\mathrm{d}y

Το πρώτο είναι για x \leqslant y ενώ τα άλλα τρία μαζί θα είναι για x \geqslant y. Αυτό όμως το χωρίο σπάει περαιτέρω. Στο y \geqslant 1-\log{2} (ολοκλήρωμα 2) και στο y \leqslant 1 - \log{2} (ολοκλήρωματα 3 και 4). Το τελευταίο σπάει ακόμη περισσότερα στα y \leqslant x \leqslant y + \log{2} και y + \log{2} \leqslant x \leqslant 1.

Ο βασικός λόγος που το σπάσαμε έτσι είναι διότι σε κάθε ένα από αυτά τα χωρία ολοκλήρωσης μπορώ να βρω ακριβώς το ακέραιο μέρος της προς ολοκλήρωσης συνάρτησης. Είναι σταθερό και ίσο με 0,1,1,2 αντίστοιχα.

Μένουν τώρα κάποιες άχαρες πράξεις. Δεν υπάρχει λόγος νομίζω να τις γράψω πλήρως. Ελπίζω όμως να μην έχω κάνει λάθος, κάτι που είναι πολύ πιθανό.

Στο πρώτο, η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι ίση με e^{x-y} και το ολοκλήρωμα μετά από πράξεις βγαίνει ίσο με 1/e.
Στο δεύτερο, η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι ίση με e^{x-y}-1 και το ολοκλήρωμα μετά από πράξεις βγαίνει ίσο με \displaystyle  1 - \log{2} - \frac{\log^2{2}}{2}.
Στο τρίτο, η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι ίση με e^{x-y}-1 και το ολοκλήρωμα μετά από πράξεις βγαίνει ίσο με (1-\log{2})^2.
Στο τέταρτο, η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι ίση με e^{x-y}-2 και το ολοκλήρωμα μετά από πράξεις βγαίνει ίσο με e-5+4\log{2} - \log^2{2}.

Συνολικά, προσθέτοντας, βγάζω \displaystyle  \frac{1}{e}+e - 3 + \log{2} - \frac{1}{2}\log^2{2}.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4384
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με κλασματικό μέρος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιουν 08, 2020 7:09 pm

Demetres έγραψε:
Δευ Ιουν 08, 2020 3:27 pm

Μένουν τώρα κάποιες άχαρες πράξεις. Δεν υπάρχει λόγος νομίζω να τις γράψω πλήρως. Ελπίζω όμως να μην έχω κάνει λάθος, κάτι που είναι πολύ πιθανό.
:clap2: :clap2: :clap2: :clap2: Όλα καλά! :clap: :clap:


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης