Σειρά Pierre Mounir

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4357
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σειρά Pierre Mounir

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 13, 2020 11:05 pm

Έστω \kappa>0. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \mod k}{n^2+n} = \ln \kappa}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4357
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά Pierre Mounir

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιούλ 16, 2020 4:46 pm

Επαναφορά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8484
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σειρά Pierre Mounir

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 16, 2020 7:24 pm

Ισοδύναμα, γράφοντας n = qk+r με r \in \{0,1,2,\ldots,k-1\}, θέλουμε να υπολογίσουμε το

\displaystyle  S =\sum_{q=0}^{\infty} \sum_{r=1}^{k-1}  \frac{r}{(qk+r)^2+(qk+r)} = \sum_{q=0}^{\infty} \sum_{r=1}^{k-1} \left(\frac{r}{qk+r} - \frac{r}{qk+r+1}\right)

Τηλεσκοπικά όμως, είναι

\displaystyle \begin{aligned} 
\sum_{r=1}^{k-1} \left(\frac{r}{qk+r} - \frac{r}{qk+r+1}\right) &=  \frac{1}{qk+1} + \frac{1}{qk+2} + \cdots + \frac{1}{qk+k-1} - \frac{k-1}{qk+k}  \\ 
&= \frac{1}{qk+1} + \frac{1}{qk+2} + \cdots + \frac{1}{qk+k} - \frac{1}{q+1}  
\end{aligned}

Έχουμε όμως

\displaystyle \sum_{q=0}^{N} \left( \frac{1}{qk+1} + \frac{1}{qk+2} + \cdots + \frac{1}{qk+k}\right) = H_{(N+1)k} = \log{(N+1)k} + \gamma + o(1)

και

\displaystyle \sum_{q=0}^{N}  \frac{1}{q+1} = H_{Ν+1} = \log{(N+1)} + \gamma + o(1).

Εν τέλει παίρνουμε ότι S = \log{k} όπως θέλαμε να δείξουμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης