Προετοιμασία για φοιτητικούς διαγωνισμούς
Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 23, 2020 10:38 am
Ανοίγω αυτό το topic καθώς από μηνύματα που λαμβάνω, βλέπω πως υπάρχει έντονο ενδιαφέρον από νέους φοιτητές, και λόγω ερευνητικής δραστηριότητας δεν έχω πλέον χρόνο να απαντώ σε όλα τα μηνύματα. Καλό είναι λοιπόν όσοι έχουμε μια εμπειρία και θέλουμε να βοηθήσουμε τους νεότερους, να γράψουμε εδώ τι προτείνουμε. Ξεκινάω με τις δικές μου προτάσεις, οι οποίες κάλυπταν όλη την ύλη όταν συμμετείχα, και δεν νομίζω να έχουν αλλάξει πολλά από τότε αν κρίνω από τα θέματα. Παρακαλώ όποιον έχει κάτι να συμπληρώσει, να το κάνει για να βοηθήσουμε περισσότερο τους νέους.
Για τον SEEMOUS, απαιτείται πολύ καλή γνώση θεμάτων Ανάλυσης και Γραμμικής Άλγεβρας. Αν και θεωρητικά ο διαγωνισμός είναι και για το 1ο έτος, χωρίς γνώσεις 2ου έτους, δύσκολα μπορεί να διεκδικήσει κάποιος κάτι παραπάνω από χαμηλό χάλκινο σε μια δύσκολη χρονιά. Αρχικά, απαιτείται σίγουρα καλή κατανόηση όλης της θεωρίας ενός μαθήματος πραγματικής ανάλυσης στον
(συμπεριλαμβανομένων των ακολουθιών συναρτήσεων / ομοιόμορφης σύγκλισης, της μονότονης / κυριαρχημένης σύγκλισης, των γενικευμένων ολοκληρωμάτων, και εννοιών όπως η συμπάγεια, η πυκνότητα, η ομοιόμορφη συνέχεια κτλ), όπως και όλης της θεωρίας των μαθημάτων γραμμικής άλγεβρας που διδάσκονται στα 2 πρώτα έτη ενός τμήματος μαθηματικών. Άρα για τη θεωρία, τα καλά συγγράμματα των σχολών είναι αρκετά (πχ τα βιβλία Ανάλυσης του Spivak και του Rudin που δίνουν μερικοί καθηγητές είναι εξαιρετικά). Η καλή κατανόηση της θεωρίας όμως, σε βαθμό που να μπορείς να αντιμετωπίσεις δύσκολα θέματα διαγωνισμών, απαιτεί και πολύ εξάσκηση με σχετικά προβλήματα, τα οποία μπορούν να βρεθούν σε διάφορα άλλα βιβλία και σημειώσεις. Για Γραμμική Άλγεβρα, πάντα πρότεινα κάποιες σημειώσεις του κ. Αθανασιάδη με διάφορα προβλήματα, που μπορεί κανείς να βρει στο e-class του Μαθηματικού τμήματος του ΕΚΠΑ. Για Ανάλυση, πολύ καλό θυμάμαι ήταν το "Berkley problems in Mathematics", αν και δεν περιορίζεται μόνο σε Ανάλυση. Μετά, έχουμε το Putnam and Beyond που καλύπτει πάρα πολλά επιπλέον πράγματα και είναι και για τον Putnam και για τον IMC (δε νομίζω να είναι απαραίτητο όμως για τον SEEMOUS).
Θεωρητικά, στον SEEMOUS μπορεί να μπει και 1 θέμα από Αναλυτική Γεωμετρία στον
, απλή συνδυαστική, πιθανότητες, βασική θεωρία ομάδων, ή στοιχειώδη θεωρία αριθμών. Στην πράξη, μόνο 2-3 θέματα Αναλυτικής Γεωμετρίας θυμάμαι τα τελευταία 10 χρόνια, 1-2 θέματα που να απαιτούσαν πολύ βασικές γνώσεις διαιρετότητας ακεραίων, και 1 θέμα πιθανοτήτων που όμως δεν ήταν στο διαγωνισμό αλλά στη shortlist. Τουλάχιστον 3 στα 4 θέματα όμως, είναι πάντα θέματα Ανάλυσης στους πραγματικούς αριθμούς και θέματα Γραμμικής Άλγεβρας.
Στον IMC μπαίνουν μέσα και άλλοι κλάδοι, οπότε πέρα από τα παραπάνω που προτείνω για τον SEEMOUS, προτείνω ακόμα καλή ανάγνωση του Putnam and Beyond, και πιο εντατική ενασχόληση με Γεωμετρία στον, Συνδυαστική (με ιδιαίτερη προσοχή στη θεωρία γραφημάτων που τους αρέσει πολύ και βάζουν τουλ. 1 θέμα κάθε 2-3 χρόνια, δλδ κύκλοι Euler, θεωρήματα γάμου κτλ), βασική θεωρία ομάδων / δακτυλίων / σωμάτων, προβλήματα με πολυώνυμα πάνω στο , στο 
και στο 
, προβλήματα με ακολουθίες (πχ τηλεσκοπικά αθροίσματα σειρών), μερικές ψαγμένες ανισότητες (έχει μπει θέμα που λυνόταν με μια Muirhead), και τέλος προβλήματα θεωρίας αριθμών με διαιρετότητα, πρώτους αριθμούς, ισοτιμίες, παραγοντικά και διωνυμικούς συντελεστές. Δεν έχω υπόψη κάποιο βιβλίο που να καλύπτει σε μεγάλο βαθμό τα παραπάνω, αλλά σε παλιούς διαγωνισμούς μπορεί κανείς να βρει πολλά τέτοια προβλήματα.
Τώρα για την γενικότερη ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης που απαιτείται για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων που μπαίνουν σε Ολυμπιάδες, το βιβλίο του Engel (Problem solving strategies) είναι νομίζω το καλύτερο. Το διαβάζουν και όλοι οι μαθητές που προετοιμάζονται για την IMO.
Για τον SEEMOUS, απαιτείται πολύ καλή γνώση θεμάτων Ανάλυσης και Γραμμικής Άλγεβρας. Αν και θεωρητικά ο διαγωνισμός είναι και για το 1ο έτος, χωρίς γνώσεις 2ου έτους, δύσκολα μπορεί να διεκδικήσει κάποιος κάτι παραπάνω από χαμηλό χάλκινο σε μια δύσκολη χρονιά. Αρχικά, απαιτείται σίγουρα καλή κατανόηση όλης της θεωρίας ενός μαθήματος πραγματικής ανάλυσης στον
(συμπεριλαμβανομένων των ακολουθιών συναρτήσεων / ομοιόμορφης σύγκλισης, της μονότονης / κυριαρχημένης σύγκλισης, των γενικευμένων ολοκληρωμάτων, και εννοιών όπως η συμπάγεια, η πυκνότητα, η ομοιόμορφη συνέχεια κτλ), όπως και όλης της θεωρίας των μαθημάτων γραμμικής άλγεβρας που διδάσκονται στα 2 πρώτα έτη ενός τμήματος μαθηματικών. Άρα για τη θεωρία, τα καλά συγγράμματα των σχολών είναι αρκετά (πχ τα βιβλία Ανάλυσης του Spivak και του Rudin που δίνουν μερικοί καθηγητές είναι εξαιρετικά). Η καλή κατανόηση της θεωρίας όμως, σε βαθμό που να μπορείς να αντιμετωπίσεις δύσκολα θέματα διαγωνισμών, απαιτεί και πολύ εξάσκηση με σχετικά προβλήματα, τα οποία μπορούν να βρεθούν σε διάφορα άλλα βιβλία και σημειώσεις. Για Γραμμική Άλγεβρα, πάντα πρότεινα κάποιες σημειώσεις του κ. Αθανασιάδη με διάφορα προβλήματα, που μπορεί κανείς να βρει στο e-class του Μαθηματικού τμήματος του ΕΚΠΑ. Για Ανάλυση, πολύ καλό θυμάμαι ήταν το "Berkley problems in Mathematics", αν και δεν περιορίζεται μόνο σε Ανάλυση. Μετά, έχουμε το Putnam and Beyond που καλύπτει πάρα πολλά επιπλέον πράγματα και είναι και για τον Putnam και για τον IMC (δε νομίζω να είναι απαραίτητο όμως για τον SEEMOUS).Θεωρητικά, στον SEEMOUS μπορεί να μπει και 1 θέμα από Αναλυτική Γεωμετρία στον
, απλή συνδυαστική, πιθανότητες, βασική θεωρία ομάδων, ή στοιχειώδη θεωρία αριθμών. Στην πράξη, μόνο 2-3 θέματα Αναλυτικής Γεωμετρίας θυμάμαι τα τελευταία 10 χρόνια, 1-2 θέματα που να απαιτούσαν πολύ βασικές γνώσεις διαιρετότητας ακεραίων, και 1 θέμα πιθανοτήτων που όμως δεν ήταν στο διαγωνισμό αλλά στη shortlist. Τουλάχιστον 3 στα 4 θέματα όμως, είναι πάντα θέματα Ανάλυσης στους πραγματικούς αριθμούς και θέματα Γραμμικής Άλγεβρας. Στον IMC μπαίνουν μέσα και άλλοι κλάδοι, οπότε πέρα από τα παραπάνω που προτείνω για τον SEEMOUS, προτείνω ακόμα καλή ανάγνωση του Putnam and Beyond, και πιο εντατική ενασχόληση με Γεωμετρία στον
, Συνδυαστική (με ιδιαίτερη προσοχή στη θεωρία γραφημάτων που τους αρέσει πολύ και βάζουν τουλ. 1 θέμα κάθε 2-3 χρόνια, δλδ κύκλοι Euler, θεωρήματα γάμου κτλ), βασική θεωρία ομάδων / δακτυλίων / σωμάτων, προβλήματα με πολυώνυμα πάνω στο , στο και στο , προβλήματα με ακολουθίες (πχ τηλεσκοπικά αθροίσματα σειρών), μερικές ψαγμένες ανισότητες (έχει μπει θέμα που λυνόταν με μια Muirhead), και τέλος προβλήματα θεωρίας αριθμών με διαιρετότητα, πρώτους αριθμούς, ισοτιμίες, παραγοντικά και διωνυμικούς συντελεστές. Δεν έχω υπόψη κάποιο βιβλίο που να καλύπτει σε μεγάλο βαθμό τα παραπάνω, αλλά σε παλιούς διαγωνισμούς μπορεί κανείς να βρει πολλά τέτοια προβλήματα.Τώρα για την γενικότερη ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης που απαιτείται για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων που μπαίνουν σε Ολυμπιάδες, το βιβλίο του Engel (Problem solving strategies) είναι νομίζω το καλύτερο. Το διαβάζουν και όλοι οι μαθητές που προετοιμάζονται για την IMO.
Algebraic Combinatorics(γεννήτριες συναρτήσεις πχ);,έχω δει ότι συχνά πέφτουν από εκεί.
Γραφήματα;
Enumerative Combinatorics; Ποια η γνώμη σας για το βιβλίο του Stanley και επίσης έχετε κάποια πρόταση για combinatorics για την IMO?
Θεωρία αριθμών για IMC και ΙΜΟ;
"Biler"