Καλημέρα! Είδα τα θέματα με καθυστέρηση μερικών ημερών, και μπορώ να πω πως μου άρεσαν. Αν και απουσίαζε το ιδιαίτερα δύσκολο πρόβλημα, που κατ' εμέ πρέπει να υπάρχει σε κάθε υψηλού επιπέδου διαγωνισμό, και τα 4 ήταν προβλήματα αξιοπρεπούς δυσκολίας για έναν διαγωνισμό που απευθύνεται σε ταλαντούχους και παθιασμένους φοιτητές μαθηματικών 1ου και 2ου έτους.
Το πρώτο πρόβλημα έχει μεταφερθεί λίγο λάθος, αφού ο πίνακας που χρησιμοποιείται δεν είναι ο adj αλλά ο ανάστροφος του adj, πράγμα που όμως δεν αλλάζει ιδιαίτερα τη λύση. Θα απαντήσω τα 2 θέματα που έμειναν αναπάντητα από τον Δημήτρη:
gavrilos έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 05, 2020 6:54 pm
Θέμα 2 Έστω

πραγματικός αριθμός. Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια:
(a)
![L=\lim_{n\to +\infty} \bigint_0^1 \left(\cfrac{k}{\sqrt[n]{x}+k-1}\right)^n \, dx L=\lim_{n\to +\infty} \bigint_0^1 \left(\cfrac{k}{\sqrt[n]{x}+k-1}\right)^n \, dx](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/64a8bef3606accf5b03646a53674592c.png)
,
(b)
Ξεκινάμε θέτοντας

για να πάρουμε
![\bigint_0^1 \left(\cfrac{k}{\sqrt[n]{x}+k-1}\right)^n \, dx = \bigint_0^1 ny^{n-1}\left(\cfrac{k}{y+k-1}\right)^n \, dy
= \bigint_0^1 ny^{-1}\left(\cfrac{yk}{y+k-1}\right)^n \, dy \bigint_0^1 \left(\cfrac{k}{\sqrt[n]{x}+k-1}\right)^n \, dx = \bigint_0^1 ny^{n-1}\left(\cfrac{k}{y+k-1}\right)^n \, dy
= \bigint_0^1 ny^{-1}\left(\cfrac{yk}{y+k-1}\right)^n \, dy](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/8e25a8122f23d39d9761fcc2383c39b9.png)
.
Στη συνέχεια θέτουμε

που παρατηρούμε ότι είναι γνησίως αύξουσα ως προς

στο
![[0, 1] [0, 1]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/264884439b70ab09a86bc848421c6de6.png)
και επί του
![[0, 1] [0, 1]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/264884439b70ab09a86bc848421c6de6.png)
, για να βρούμε ότι το παραπάνω ολοκλήρωμα ισούται (μετά από μερικές απλοποιήσεις) με:

όπου χρησιμοποιήσαμε ολοκλήρωση κατά παράγοντες. Η παράγωγος μέσα στο τελευταίο ολοκλήρωμα είναι εύκολα φραγμένη στο
![[0, 1] [0, 1]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/264884439b70ab09a86bc848421c6de6.png)
αφού το

είναι φραγμένο μακρυά από το

, ενώ το

για κάθε

. Επομένως, το θεώρημα Κυριαρχιμένης Σύγκλισης εφαρμόζεται στο τελευταίο ολοκλήρωμα, και έτσι αυτό πάει στο

αφού

. Άρα έχουμε

.
Το 2ο όριο τώρα ισούται με το όριο του:

όπου χρησιμοποιήθηκε και πάλι ολοκλήρωση κατά παράγοντες, και όπου μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης όπως ακριβώς κάναμε και στην περίπτωση του πρώτου ορίου για να δείξουμε ότι το τελευταίο ολοκλήρωμα πάει στο

. Επομένως, το 2ο όριο ισούται με
gavrilos έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 05, 2020 6:54 pm
Θέμα 4 Θεωρούμε

και έστω

μια

περιοδική και παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια, ώστε

για κάθε

η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις
(a) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο

, η εξίσωση

έχει μοναδική λύση στο διάστημα

, έστω

.
(b) 'Εστω

και

Να αποδείξετε ότι

και να μελετήσετε ως προς τη σύγκλιση τις σειρές

και

.
Στο (a), μπορούμε να βρούμε

ώστε

για κάθε

. Τότε αρκεί ένα Bolzano στην

στο
![[Tn, Tn + a_n] [Tn, Tn + a_n]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/cee770e20688a3ae8804deaf3f7fddba.png)
, με
και

.
Η μοναδικότητα είναι άμεση καθώς

στο

, άρα και σε κάθε διάστημα της μορφής

λόγω περιοδικότητας, επομένως η

είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε τέτοιο διάστημα.
Στο (b), η

παίρνει τιμές στο

. Αν αυτή δεν συγκλίνει στο

, τότε έχει υπακολουθία με τιμές στο
![[\epsilon, a) \subset [\epsilon, a] [\epsilon, a) \subset [\epsilon, a]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9cd42c76f32810b554c020bf6e7506e9.png)
για κάποιο

, η οποία έχει (από Bolzano - Weierstrass) υπακολουθία

που συγκλίνει σε κάποιο
![y \in [\epsilon, a] y \in [\epsilon, a]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/09bdd60385883fd71c56e4e21d307c05.png)
.
Τότε, από τη συνέχεια της

κοντά στο
![a - y \in [0, a - \epsilon] \subset [0, a) a - y \in [0, a - \epsilon] \subset [0, a)](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/32d1baf1b0f4710bb88a923a57f7457b.png)
έχουμε:

, αφού

, το οποίο είναι άτοπο. Άρα η

πάει στο

.
Στη συνέχεια έχουμε:

, το οποίο πάει στο

όταν

, όπως εύκολα μπορούμε να δούμε χρησιμοποιώντας τον κανόνα D'el Hopital και την τελευταία συνθήκη. Άρα για

έχουμε ότι το
παίρνει τιμές σε ένα διάστημα της μορφής
![[1 - \eta, 1 + \eta] [1 - \eta, 1 + \eta]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4ccff7abb973a049fc5c67d1091fefcc.png)
για μεγάλα

. Επομένως, για κάποιο
![u_n \in [1 - \eta, 1 + \eta] u_n \in [1 - \eta, 1 + \eta]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/eb86ebb1278b5f1539eeb32603210d18.png)
έχουμε

για μεγάλα

, καθώς κρατάμε τη μικρή ρίζα της δευτεροβάθμιας αφού

.
Έτσι τελικά έχουμε

για μεγάλα

.
Επομένως, η πρώτη σειρά αποκλίνει αφού συμπεριφέρεται όπως η αρμονική τάξης 1, ενώ η δεύτερη συγκλίνει καθώς συμπεριφέρεται όπως η αρμονική τάξης 2 αφού

με

και από D'el Hopital είναι:

.