Έκανα μια σκέψη που στην αρχή φαινόταν πολλά υποσχόμενη, αλλά τελικά δε βγήκε κάπου...
Αρχικά, θα εξετάσουμε το όριο:
όπου
. Έστω
, οπότε
για κάποιους σχετικά πρώτους θετικούς ακεραίους
με
. Θεωρούμε επίσης τα σύνολα:
και παρατηρούμε ότι τα
είναι ισοπληθικά με τα
, για κάθε
- εδώ παίρνουμε την
περιορισμένη στο
, αλλιώς το
έχει τη διπλάσια πληθικότητα, γενικά.. Πράγματι, αν πάρουμε ένα
με
, τότε έπεται ότι
, όπου
είναι δύο σχετικά πρώτοι θετικοί ακέραιοι με
και, αντίστροφα, για κάθε ζεύγος
της παραπάνω μορφής έχουμε ένα κλάσμα
με
.
Έστω, τώρα,
το πλήθος των διακεκριμένων πρώτων διαιρετών του
, οπότε:
όπου
για
. Για να επιλέξουμε ένα ζεύγος
σχετικά πρώτων διαιρετών του
με
αρκεί να επιλέξουμε ένα υποσύνολο
και να θέσουμε:
Έτσι, έχουμε
τέτοια ζευγάρια. Για να βρούμε το πλήθος του
, ας παρατηρήσουμε ότι, αφού
, το
περιέχει ακριβώς τα μισά από τα πιθανά ζεύγη σχετικά πρώτων διαιρετών του
με
, άρα
. Τώρα παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο παίρνει τη μορφή:
Από το παραπάνω μπορούμε να συμπεράνουμε με λίγη προσοχή ότι η σειρά πράγματι συγκλίνει. αφού. από το θεώρημα
Hardy-Ramanujan γνωρίζουμε ότι
καθώς
για «σχεδόν όλους» τους φυσικούς αριθμούς, οπότε η προς άθροιση ακολουθία συγκρίνεται με την:
της οποίας η σειρά συγκλίνει.
Τώρα, εύκολα βλέπουμε ότι και στο
ισχύουν ακριβώς τα ίδια - αφού κάθε κλάσμα
αντιστοιχίζεται με «1-1» και επί τρόπο στο ξαδερφάκι του
, οπότε, τελικά: