Σελίδα 1 από 1

Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 26, 2020 2:54 pm
από ChrP
1) Εξετάστε αν υπάρχουν πίνακες A \in \mathbb{R}_{n\times m} και B \in \mathbb{R}_{m\times n} με  n > m ώστε AB=I_n
\newline
2)Αποδείξτε ότι υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας Q με Q^{-1}AQ=B
A= 
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & \cdots &\cdots & 0 \\  
1 & 1 & 0 & \cdots & \vdots\\ 
1 & 2 & 1 & \cdots  & \vdots \\ 
\vdots &     & &  \ddots &\ddots \\ 
\binom{n}{0} &\binom{n}{1} & \cdots & \binom{n}{n-1} & \binom{n}{n}\\ 
\end{pmatrix}
\newline
B=\begin{pmatrix}  
1 &1 & 0 &\cdots & \cdots & 0 \\ 
0&1&1&0&\cdots & 0 \\ 
\vdots & \ddots &\ddots &\ddots &\ddots  &\vdots \\ 
0&\cdots &\ddots &1&1&0 \\ 
0&\cdots &\cdots &0&1&1 \\ 
0&\cdots &\cdots &\cdots&0&1 \\ 
\end{pmatrix}
\newline
3)Έστω f : \mathbb{R^+} \rightarrow [0,1] μια συνεχής συνάρτηση και n \geq 2 Αν \beta = \int_{0}^{\infty}t^{n-1}f(t)dt < \infty και θέσουμε \alpha=(n\beta)^{\frac{1}{n} τότε για κάθε  \varphi :\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+} με \varphi(b) \geq \varphi(a)  \forall b >a έχουμε\int_{0}^{\infty}t^{n-1}\varphi(t)f(t) dt \geq \int_{0}^{a}t^{n-1}\varphi(t)dt
\newline
4)Έστω f :\mathbb{R} \rightarrow [0,1] συνεχής .Δείξε οτι η F(p) είναι αύξουσα
F(p)=\left(\frac{\int_\mathbb{R}  |x|^pf(x)dx}{\int_{-1}^{1}|x|^pdx}\right)^{\frac{1}{p+1}}
για p \in(-1, ,\infty )
\newline
5)Αν (a,m)=1 (μέγιστος κοίνος διαιρέτης ) δείξτε οτι
\sum_{x=0 }^{ m-1}=\lfloor \frac{ax+b}{m}\rfloor=\frac{(a-1)(m-1)}{2}+b

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 26, 2020 7:24 pm
από Demetres
ChrP έγραψε:
Κυρ Ιαν 26, 2020 2:54 pm
5)Αν (a,m)=1 (μέγιστος κοίνος διαιρέτης ) δείξτε οτι
\sum_{x=0 }^{ m-1}=\lfloor \frac{ax+b}{m}\rfloor=\frac{(a-1)(m-1)}{2}+b

Ασφαλώς ο b πρέπει να είναι ακέραιος αλλιώς το ζητούμενο δεν ισχύει.

Η περίπτωση b=0 είναι γνωστή και την έχουμε σίγουρα δει στο :logo: . Θα ψάξω να την βρω αλλιώς θα δώσω λύση. Για τη γενική περίπτωση ας γράψουμε b = qm + r με r \in \{0,1,\ldots,m-1\}.

Παρατηρούμε ότι τα 0,a,2a,\ldots,(m-1)a είναι όλα διαφορετικά modulo m. Άρα \displaystyle  \left\lfloor \frac{ax+r}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{ax+r}{m} \right\rfloor για ακριβώς m-r τιμές του x (αυτές που τα 0,a,2a,\ldots,(m-1)a αφήνουν υπόλοιπα 0,1,\ldots,m-r-1) και \displaystyle  \left\lfloor \frac{ax+r}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{ax+r}{m} \right\rfloor + 1 για ακριβώς r τιμές του x.

Άρα έχουμε

\displaystyle  \sum_{x=0 }^{ m-1} \left\lfloor \frac{ax+b}{m}\right\rfloor = \sum_{x=0 }^{ m-1}\left[\left\lfloor \frac{ax+r}{m}\right\rfloor +q\right] = qm + \sum_{x=0 }^{ m-1}\left\lfloor \frac{ax+r}{m}\right\rfloor  = qm + r +\sum_{x=0 }^{ m-1}\left\lfloor \frac{ax}{m} \right\rfloor= \frac{(a-1)(m-1)}{2} + b

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 26, 2020 8:19 pm
από ChrP
ChrP έγραψε:
Κυρ Ιαν 26, 2020 2:54 pm
1) Εξετάστε αν υπάρχουν πίνακες A \in \mathbb{R}_{n\times m} και B \in \mathbb{R}_{m\times n} με  n > m ώστε AB=I_n
3 ιδέες
1)(η επίσημη λύση )
Δεν υπάρχουν τέτοιες απεικονίσεις γιατί η επαγώμενη γραμμική συνάρτηση f_B:  \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m  δεν είναι 1-1 και
η f_A :\mathbb{R}^m \rightarrow  \mathbb{R}^n δεν είναι επί
2)Έστω οτι υπάρχουν τέτοιοι πίνακες.Αφού για τον πίνακα B \in \mathbb{R} m \times n ισχύει m<n τοτε ο πίνακας B είναι γνωστό απο την θεωρία οτι εχει μη τετριμμένη ρίζα έστω X .Τότε πολλαπλασιάζοντας την σχέση με X απο δεξία παίρνουμε ABX=X \Righarrow Χ=0 άτοπο
3) Έστω οτι υπάρχουν τέτοιοι πίνακες τοτε μπορεί κάποιος να αποδείξει οτι det(AB)=0 αν n >m γιατί ο AB είναι n \times n όμως rank(AB) \leq rank(B) \leq m < n και αρα ο AB δεν αντιστρέφεται
Αρα βάζοντας det στην σχέση παίρνουμε 0=1 ατοπο

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 26, 2020 9:58 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
ChrP έγραψε:
Κυρ Ιαν 26, 2020 2:54 pm

2)Αποδείξτε ότι υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας Q με Q^{-1}AQ=B
A= 
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & \cdots &\cdots & 0 \\  
1 & 1 & 0 & \cdots & \vdots\\ 
1 & 2 & 1 & \cdots  & \vdots \\ 
\vdots &     & &  \ddots &\ddots \\ 
\binom{n}{0} &\binom{n}{1} & \cdots & \binom{n}{n-1} & \binom{n}{n}\\ 
\end{pmatrix}
\newline
B=\begin{pmatrix}  
1 &1 & 0 &\cdots & \cdots & 0 \\ 
0&1&1&0&\cdots & 0 \\ 
\vdots & \ddots &\ddots &\ddots &\ddots  &\vdots \\ 
0&\cdots &\ddots &1&1&0 \\ 
0&\cdots &\cdots &0&1&1 \\ 
0&\cdots &\cdots &\cdots&0&1 \\ 
\end{pmatrix}
\newline
Ο A έχει μοναδική ιδιοτιμή το 1.

Επίσης είναι άμεσο ότι rank(A-I)=n-1

Ετσι ο B είναι η κανονική μορφή Jordan του A και το ζητούμενο είναι άμεσο.

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Δημοσιεύτηκε: Τρί Μαρ 10, 2020 7:29 pm
από stamas1
Αυτα τα προβληματα δοθηκαν σε ολους τους φοιτητες του μαθηματικων στο εκπα?

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Δημοσιεύτηκε: Τρί Μαρ 10, 2020 8:08 pm
από ChrP
stamas1 έγραψε:
Τρί Μαρ 10, 2020 7:29 pm
Αυτα τα προβληματα δοθηκαν σε ολους τους φοιτητες του μαθηματικων στο εκπα?
Οι ενδιαφερόμενοι για τον διαγωνισμό αυτόν , απο όλη την αθήνα , γράψανε σε αυτά τα θέματα .

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Δημοσιεύτηκε: Τρί Μαρ 10, 2020 9:42 pm
από stamas1
ChrP έγραψε:
Τρί Μαρ 10, 2020 8:08 pm
stamas1 έγραψε:
Τρί Μαρ 10, 2020 7:29 pm
Αυτα τα προβληματα δοθηκαν σε ολους τους φοιτητες του μαθηματικων στο εκπα?
Οι ενδιαφερόμενοι για τον διαγωνισμό αυτόν , απο όλη την αθήνα , γράψανε σε αυτά τα θέματα .
ακομα και οι πρωτοετεις?

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Δημοσιεύτηκε: Τρί Μαρ 10, 2020 9:49 pm
από ChrP
stamas1 έγραψε:
Τρί Μαρ 10, 2020 9:42 pm
ChrP έγραψε:
Τρί Μαρ 10, 2020 8:08 pm
stamas1 έγραψε:
Τρί Μαρ 10, 2020 7:29 pm
Αυτα τα προβληματα δοθηκαν σε ολους τους φοιτητες του μαθηματικων στο εκπα?
Οι ενδιαφερόμενοι για τον διαγωνισμό αυτόν , απο όλη την αθήνα , γράψανε σε αυτά τα θέματα .
ακομα και οι πρωτοετεις?
Ναι !

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 15, 2020 12:39 am
από stamas1
Στο 3 μπορεί κάποιος να μου πει ποια είναι η ερώτηση; Στο 4 θα μπορούσε κάποιος να μου πει τι σημαίνει το ολοκλήρωμα με άκρο το R?

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 15, 2020 7:34 am
από grigkost
stamas1 έγραψε:
Κυρ Μαρ 15, 2020 12:39 am
Στο 3 μπορεί κάποιος να μου πει ποια είναι η ερώτηση; Στο 4 θα μπορούσε κάποιος να μου πει τι σημαίνει το ολοκλήρωμα με άκρο το R?
Στο 3 είναι "Να αποδειχθεί ότι, αν..., τότε έχουμε..."
Στο 4 το \int_{\mathbb{R}} είναι \int_{-\infty}^{+\infty}.

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 15, 2020 1:08 pm
από stamas1
καμια λυση στο 3 και 4?

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 15, 2020 4:41 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
ChrP έγραψε:
Κυρ Ιαν 26, 2020 2:54 pm

3)Έστω f : \mathbb{R^+} \rightarrow [0,1] μια συνεχής συνάρτηση και n \geq 2 Αν \beta = \int_{0}^{\infty}t^{n-1}f(t)dt < \infty και θέσουμε \alpha=(n\beta)^{\frac{1}{n} τότε για κάθε  \varphi :\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+} με \varphi(b) \geq \varphi(a)  \forall b >a έχουμε\int_{0}^{\infty}t^{n-1}\varphi(t)f(t) dt \geq \int_{0}^{a}t^{n-1}\varphi(t)dt
\newline
Η \varphi είναι αύξουσα και

\displaystyle \beta =\frac{a^{n}}{n}=\int_{0}^{a}t^{n-1}dt

Εχουμε
\displaystyle  \int_{0}^{a}t^{n-1}\varphi (t)dt=\int_{0}^{a}t^{n-1}(\varphi (t)-\varphi (a))dt+\varphi (a)\int_{0}^{a}t^{n-1}dt=
\displaystyle \int_{0}^{a}t^{n-1}(\varphi (t)-\varphi (a))dt+\varphi (a)\beta

Επειδή η \varphi είναι αύξουσα έχουμε ότι

\displaystyle  \int_{a}^{\infty }\varphi (t)f(t)t^{n-1}dt\geq \int_{a}^{\infty }\varphi (a)f(t)t^{n-1}dt

Αρκεί να δείξουμε ότι
\displaystyle  \varphi (a)\int_{0}^{a}t^{n-1}f (t)dt+\int_{0}^{a}t^{n-1}(\varphi (t)-\varphi (a))dt\leq \int_{0}^{a}t^{n-1}f (t)\varphi (t)dt
η ισοδύναμα

\displaystyle \int_{0}^{a}t^{n-1}(\varphi (t)-\varphi (a))dt\leq \int_{0}^{a}t^{n-1}f (t)(\varphi (t)-\varphi (a))dt
που ισχύει αφού

\displaystyle 0\leq f(t)\leq 1,\varphi (t)-\varphi (a)\leq 0,0\leq t\leq a

Γενικά η εκφώνηση έχει θέμα ως προς τους συμβολισμούς.

Θα έπρεπε κατα την γνώμη μου για να είναι σαφής να γραφεί:
Έστω f : \mathbb{R^+} \rightarrow [0,1] μια συνεχής συνάρτηση και n \geq 2
Αν \beta = \int_{0}^{\infty}t^{n-1}f(t)dt < \infty και θέσουμε
\alpha=(n\beta)^{\frac{1}{n}
τότε για κάθε  \varphi :\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+} αύξουσα
ισχύει
\int_{0}^{\infty}t^{n-1}\varphi(t)f(t) dt \geq \int_{0}^{\alpha}t^{n-1}\varphi(t)dt


Στο 4) νομίζω ότι δεν είναι σωστά διατυπωμένη η εκφώνηση.

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 15, 2020 6:21 pm
από ChrP
ChrP έγραψε:
Κυρ Ιαν 26, 2020 2:54 pm
1) Εξετάστε αν υπάρχουν πίνακες A \in \mathbb{R}_{n\times m} και B \in \mathbb{R}_{m\times n} με  n > m ώστε AB=I_n
\newline
2)Αποδείξτε ότι υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας Q με Q^{-1}AQ=B
A= 
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & \cdots &\cdots & 0 \\  
1 & 1 & 0 & \cdots & \vdots\\ 
1 & 2 & 1 & \cdots  & \vdots \\ 
\vdots &     & &  \ddots &\ddots \\ 
\binom{n}{0} &\binom{n}{1} & \cdots & \binom{n}{n-1} & \binom{n}{n}\\ 
\end{pmatrix}
\newline
B=\begin{pmatrix}  
1 &1 & 0 &\cdots & \cdots & 0 \\ 
0&1&1&0&\cdots & 0 \\ 
\vdots & \ddots &\ddots &\ddots &\ddots  &\vdots \\ 
0&\cdots &\ddots &1&1&0 \\ 
0&\cdots &\cdots &0&1&1 \\ 
0&\cdots &\cdots &\cdots&0&1 \\ 
\end{pmatrix}
\newline
3)Έστω f : \mathbb{R^+} \rightarrow [0,1] μια συνεχής συνάρτηση και n \geq 2 Αν \beta = \int_{0}^{\infty}t^{n-1}f(t)dt < \infty και θέσουμε \alpha=(n\beta)^{\frac{1}{n} τότε για κάθε  \varphi :\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+} με \varphi(b) \geq \varphi(a)  \forall b >a έχουμε\int_{0}^{\infty}t^{n-1}\varphi(t)f(t) dt \geq \int_{0}^{a}t^{n-1}\varphi(t)dt
\newline
4)Έστω f :\mathbb{R} \rightarrow [0,1] συνεχής .Δείξε οτι η
F(p)=\left(\frac{\int_\mathbb{R}  |x|^pf(x)dx}{\int_{-1}^{1}|x|^pdx}\right)^{\frac{1}{p+1}} αύξουσα
για p \in(-1, ,\infty )
\newline
5)Αν (a,m)=1 (μέγιστος κοίνος διαιρέτης ) δείξτε οτι
\sum_{x=0 }^{ m-1}=\lfloor \frac{ax+b}{m}\rfloor=\frac{(a-1)(m-1)}{2}+b
Καλησπέρα διόρθωσα το 4 και το έγραψα ακριβώς όπως μας δόθηκε