Δύο συναρτήσεις και ολοκλήρωμα

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f,g: [0, \infty ) \longrightarrow (0, \infty)$ αν για κάθε x>0

ισχύει $\displaystyle{ \int_0^x f(t)\,dt =\dfrac {1}{g(x)} }$ και $\displaystyle{ \int_0^x g(t)\,dt= \dfrac {1}{f(x)} }$ .

(Για να λυθεί αρκούν οι γνώσεις Λυκείου. Με μικρές υποδείξεις θα έκανε για Θέμα 4 στις Πανελλαδικές. Την τοποθετώ στον φάκελο των Διαγωνισμών για φοιτητές όχι γιατί είναι ιδιαίτερα δύσκολη αλλά επειδή έχει δυό τρία βήματα.)

panagiotis iliopoulos · #2

Οι συναρτήσεις $\int_{0}^{x}f(t)dt$ και $\int_{0}^{x}g(t)dt$ εξ ορισμού είναι παραγωγίσιμες οπότε οι συναρτήσεις

και

είναι παραγωγίσιμες.

Με παραγώγιση των δύο σχέσεων προκύπτει ότι $f(x)=\frac{-g'(x)}{g^2(x)}$ (1)

και $g(x)=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}$ (2)

Με παραγώγιση της (2) προκύπτει ότι $g'(x)=\frac{2[f'(x)]^2-f(x)f''(x)}{f^3(x)} (3)$ .

Αντικαθιστώντας τις (2),(3) στην (1) έχουμε (μετά από πράξεις) ότι $[\frac{f'(x)}{f(x)}]'=2[\frac{f'(x)}{f(x)}]^2\Rightarrow K'(x)=2K^2(x) (4)$

όπου $K(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$ .

$(4)\Rightarrow K(x)=\frac{1}{-2x+a}$ .

Άρα $lnf(x)=-\frac{1}{2}ln(-2x+a)+b\Rightarrow f(x)=e^{-\frac{1}{2}ln(-2x+a)+b}$ και τα υπόλοιπα έπονται.

#3

Μικρή παραλλαγή για λίγο λιγότερες πράξεις, από την

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 29, 2019 2:03 pm
Με παραγώγιση των δύο σχέσεων προκύπτει ότι $f(x)=\frac{-g'(x)}{g^2(x)}$ και $g(x)=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}$

έχουμε $\displaystyle{\frac{f'(x)}{(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)}}$ . Ολοκληρώνονταw και διώχνοντας τον λογάριθμο παίρνουμε f(x)=kg(x)

για κάποιο k>0

. Βάζοντας αυτήν πίσω στη (2)

παίρνουμε

και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο. Θα βγει μετά τις απλοποιήσεις ότι $f(x)=\dfrac {k}{\sqrt {2kx+c}}$ και άρα $g(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2kx+c} }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 29, 2019 2:03 pm
Οι συναρτήσεις $\int_{0}^{x}f(t)dt$ και $\int_{0}^{x}g(t)dt$ εξ ορισμού είναι παραγωγίσιμες οπότε οι συναρτήσεις και

είναι παραγωγίσιμες.

Με παραγώγιση των δύο σχέσεων προκύπτει ότι $f(x)=\frac{-g'(x)}{g^2(x)}$ και $g(x)=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}$

Με παραγώγιση της (2) προκύπτει ότι $g'(x)=\frac{2[f'(x)]^2-f(x)f''(x)}{f^3(x)} (3)$ .

Αντικαθιστώντας τις (2),(3) στην (1) έχουμε (μετά από πράξεις) ότι $[\frac{f'(x)}{f(x)}]'=2[\frac{f'(x)}{f(x)}]^2\Rightarrow K'(x)=2K^2(x) (4)$

όπου $K(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$ .

$(4)\Rightarrow K(x)=\frac{1}{-2x+a}$ .

Άρα $lnf(x)=-\frac{1}{2}ln(-2x+a)+b\Rightarrow f(x)=e^{-\frac{1}{2}ln(-2x+a)+b}$ και τα υπόλοιπα έπονται.

Παναγιώτη Χρόνια Πολλά.
Υπάρχουν δύο σημεία που μπάζουν στην λύση σου.

1)

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 29, 2019 2:03 pm
Οι συναρτήσεις $\int_{0}^{x}f(t)dt$ και $\int_{0}^{x}g(t)dt$ εξ ορισμού είναι παραγωγίσιμες.

Δεν έχει δοθεί ότι οι συναρτήσεις είναι συνεχείς.

Από την εκφώνηση προκύπτει ότι είναι ολοκληρώσιμες σε κάθε διάστημα του $[0,\infty )$ .
Φυσικά μπορεί κάποιος να αποδείξει ότι στο $(0,\infty)$ είναι όσες φορές θέλουμε παραγωγίσημες.Αυτό βέβαια είναι εκτός σχολικής ύλης.Το ολοκλήρωμα δεν παίζει ρόλο αν είναι
Riemann η Lebesgue

2)

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 29, 2019 2:03 pm
Άρα $lnf(x)=-\frac{1}{2}ln(-2x+a)+b\Rightarrow f(x)=e^{-\frac{1}{2}ln(-2x+a)+b}$ και τα υπόλοιπα έπονται.

Δηλαδή τα

είναι οποιαδήποτε;
Και πώς γνωρίζεις ότι ικανοποιούν τις αρχικές σχέσεις;
Πρέπει να γίνει επαλήθευση .
Και σίγουρα υπάρχει τυπογραφικό γιατί το θετικό

μέσα στον λογάριθμο
είναι με

μπροστά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 29, 2019 3:07 pm

Μικρή παραλλαγή για λίγο λιγότερες πράξεις, από την
panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 29, 2019 2:03 pm
Με παραγώγιση των δύο σχέσεων προκύπτει ότι $f(x)=\frac{-g'(x)}{g^2(x)}$ και $g(x)=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}$
έχουμε $\displaystyle{\frac{f'(x)}{(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)}}$ . Ολοκληρώνονταw και διώχνοντας τον λογάριθμο παίρνουμε για κάποιο . Βάζοντας αυτήν πίσω στη παίρνουμε και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο. Θα βγει μετά τις απλοποιήσεις ότι $f(x)=\dfrac {k}{\sqrt {2kx+c}}$ και άρα $g(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2kx+c} }$

Μιχάλη Χρόνια Πολλά.
Το

της λύσης σου δεν μπορεί να είναι οποιοδήποτε.
Το αφήνω να το βρει ο Παναγιώτης.

#6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 29, 2019 7:07 pm

Δεν έχει δοθεί ότι οι συναρτήσεις είναι συνεχείς.

Σωστά. Παράληψή μου αφού έγραψα ότι λύνεται με γνώσεις Λυκείου. Ευτυχώς σώζεται.

Ευχαριστώ για την επισήμανση.

Δύο συναρτήσεις και ολοκλήρωμα

Δύο συναρτήσεις και ολοκλήρωμα

Re: Δύο συναρτήσεις και ολοκλήρωμα

Re: Δύο συναρτήσεις και ολοκλήρωμα

Re: Δύο συναρτήσεις και ολοκλήρωμα

Re: Δύο συναρτήσεις και ολοκλήρωμα

Re: Δύο συναρτήσεις και ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση