Σελίδα 1 από 1

IMC 2019/1/5

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 03, 2019 1:43 pm
από Demetres
Να εξεταστεί αν υπάρχει περιττός ακέραιος n και n \times n πίνακες A,B με ακέραια στοιχεία οι οποίοι ικανοποιούν όλες τις πιο κάτω συνθήκες:

1) \det(B) = 1.
2) AB = BA.
3) A^4 + 4A^2B^2 + 16B^4 = 2019I.

Re: IMC 2019/1/5

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 18, 2019 4:51 pm
από dement
Εύκολα αποδεικνύεται το

Λήμμα: Για κάθε A, B \in M_m (\mathbb{Z}) και n \in \mathbb{Z} ισχύει \det(A+nB) \equiv \det(A) \mod n.

Λαμβάνοντας υπόψη την αντιμεταθετικότητα, η αρχική συνθήκη γράφεται ως MN = 2019I, όπου M = A^2 + 2AB + 4B^2, \ N = A^2 - 2AB + 4B^2. Έτσι, M-N = 4 A B και, από το λήμμα, \det(M) \equiv \det(N) \mod 4 \implies \det(MN) \equiv 0 \vee \det(MN) \equiv 1 \mod 4.

Αλλά \det(2019I) = 2019^n \equiv 3 \mod 4 για n περιττό, οπότε έχουμε άτοπο. Άρα δεν υπάρχουν οι πίνακες.