Demetres έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 03, 2019 1:41 pm
Ορίζουμε την ακολουθία
με την ακόλουθη αναδρομική σχέση:
και
για
.
Να αποδειχθεί ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι ακέραιοι.
Θα δουλέψουμε με τη γεννήτρια συνάρτηση
. Κάνουμε τις αντικαταστάσεις
με
και μετατρέπουμε την αναδρομική σχέση στη διαφορική εξίσωση
Δουλεύοντας με την
έχουμε
.
Η διαφορική εξίσωση ολοκληρώνεται σχετικά εύκολα στη λύση
Έτσι, αρκεί να αποδείξουμε ότι η σειρά Maclaurin
της
, πέρα από τους δύο πρώτους όρους, είναι ακέραια. Από το γεγονός ότι το τετράγωνό της είναι
και ο πρώτος όρος της
, εύκολα βλέπουμε ότι ο δεύτερος όρος της είναι
και οι υπόλοιποι όροι (για τους οποίους ισχύει
) πληρούν την αναδρομική συνθήκη
. Έτσι, είναι όλοι ακέραιοι.
Σημ.: Ανακάλυψα ότι η ακολουθία έχει όνομα, λέγονται αριθμοί Schröder (ξαδέρφια των αριθμών Catalan) και έχουν εφαρμογές στη συνδυαστική, μεταξύ των άλλων.