Προετοιμασία για seemous

Συντονιστής: Demetres

petrosqw
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Παρ Φεβ 01, 2019 6:46 pm

Προετοιμασία για seemous

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από petrosqw » Τρί Ιουν 25, 2019 6:38 pm

Να υπολογίσετε το όριο \lim_{n\rightarrow \propto }\frac{1}{n^{4}}\left ( \prod_{k=1}^{2n}(n^{2}+k^{2}) \right )^{\frac{1}{n} }



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12627
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Προετοιμασία για seemous

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιουν 25, 2019 7:17 pm

petrosqw έγραψε:
Τρί Ιουν 25, 2019 6:38 pm
Να υπολογίσετε το όριο \lim_{n\rightarrow \propto }\frac{1}{n^{4}}\left ( \prod_{k=1}^{2n}(n^{2}+k^{2}) \right )^{\frac{1}{n} }
Μάλλον απλή για τέτοιο διαγωνισμό.

Η δοθείσα ισούται με

\displaystyle{\frac{1}{n^{4}}\left (n^{4n} \prod_{k=1}^{2n}\left (1+\frac {k^{2}}{n^{2}}\right ) \right )^{\frac{1}{n} }= \prod_{k=1}^{2n}\left (1+\frac {k^{2}}{n^{2}}\right )^{\frac{1}{n} }

O λογάριθμος του τελευταίου είναι

\displaystyle{ \frac {1}{n} \sum_{k=1}^{2n} \ln \left (1+\frac {k^{2}}{n^{2}}\right )}

που είναι το άθροισμα Riemann του \displaystyle{\int _0^2 \ln (1+x^2)dx}.

Για το τελευταίο μπορούμε να βρούμε ακόμα και το αόριστο ολοκλήρωμα, το οποίο είναι \displaystyle{x\ln(1+x^2)-2x+2\arctan x +c}. Και λοιπά.


petrosqw
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Παρ Φεβ 01, 2019 6:46 pm

Re: Προετοιμασία για seemous

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από petrosqw » Τετ Ιουν 26, 2019 12:28 am

Βάζω και άλλη μια άσκηση
Έστω p ένας πρωτος αριθμός και a, b φυσικοί με a>b
Έστω ακόμη ότι a=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+...+a_{r}p^{r} και
b=b_{0}+b_{1}p+b_{2}p^{2}+...+b_{s}p^{s},όπου

0\leq a_{i },b_{i }<p.Να δείξετε ότι:

I)\binom{a}{b}\equiv \prod_{i=0}^{r}\binom{a_{i }}{b_{i }} mod p

II)\binom{a}{b}\not\equiv 0 mod p αν και μόνο αν a_{i}\geq b_{i } για κάθε i


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8541
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Προετοιμασία για seemous

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιουν 26, 2019 11:33 am

Το (Ι) είναι το θεώρημα Lucas. (Υπάρχει απόδειξη με γεννήτριες συναρτήσεις στο σύνδεσμο.) Το (ΙΙ) είναι ασφαλώς άμεση συνέπεια του (Ι). Είναι επίσης και συνέπεια του θεωρήματος Kummer


christinat
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Προετοιμασία για seemous

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christinat » Τετ Ιουν 26, 2019 12:26 pm

Αν 0<i<p τοτε \binom{p}{i }=\frac{p!}{i!(p-i)!}

Ισχύει ότι p\mid p!

Επίσης οι παράγοντες στον παρονομαστή είναι μικρότεροι του p

Οποτε \binom{p}{i }\equiv 0 mod p

Άρα (1+x)^{p}\equiv 1+x^{p} mod p(1)

Εφαρμόζοντας την σχεση (1) t φορές προκύπτει ότι (1+x)^{p^{t}}\equiv 1+x^{p^{t}} mod p

Έτσι (x+1)^{a}=\prod_{i =0}^{r}(1+x^{p^{i }})^{a_{i }}

Όμως (1+x)^{a}=\sum_{n=0}^{a}\binom{a}{n}x^{n}

Συνεπώς \binom{a}{b}\equiv \prod_{i=0}^{r}\binom{a_{i }}{b_{i }} mod p

Επίσης \binom{a_{i }}{b_{i }}=0 αν και μόνο αν a_{i }<b_{i }

*Ας πει οποιος μπορεί γνώμη για την λυση


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης