SEEMOUS 2019 / 1

Συντονιστής: Demetres

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

SEEMOUS 2019 / 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 18, 2019 10:05 am

Μία ακολουθία (x_{n})
λέγεται ''Devin'' αν έχει τις ιδιότητες
1)0\leq x_{i}\leq 1,i=1,2,...
2)Για κάθε συνεχή f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}
ισχύει
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})=\int_{0}^{1}f(x)dx

Να δείξετε ότι μια ακολουθία (x_{n}) είναι ''Devin''
αν και μόνο αν
για κάθε k=0,1,2,....
ισχύει
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{k}=\frac{1}{k+1}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2019 / 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Μαρ 19, 2019 2:51 pm

Το «μόνο αν» είναι προφανές εφαρμόζοντας για k=0,1,2,\ldots την (2) στη συνάρτηση f(x) = x^k.

Το «αν» είναι σχεδόν προφανές από το προσεγγιστικό θεώρημα Weierstrass.

Αν έχουμε f συνεχή και \varepsilon > 0 τότε μπορούμε να βρούμε πολυώνυμο p ώστε |p(x) - f(x)| \leqslant \varepsilon για κάθε x \in [0,1]. Τότε θα έχουμε και

\displaystyle  \left|\int_0^1 p(x)\, \mathrm{d}x - \int_0^1 f(x)\, \mathrm{d}x \right| \leqslant \int_0^1 |p(x)-f(x)|\, \mathrm{d}x \leqslant \varepsilon.

Έστω ότι p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_rx^r. Τότε υπάρχει N ώστε αν n > N και k=0,1,\ldots,r θα έχουμε

\displaystyle  \left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_kx_i^k - \frac{a_k}{k+1}\right| < \frac{\varepsilon}{r+1}

Τότε θα έχουμε και

\displaystyle  \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p(x_i) - \int_0^1 p(x) \, \mathrm{d}x\right| < \varepsilon

Άρα

\displaystyle  \displaystyle{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i) - \int_0^1 f(x)\, \mathrm{d}x\right| \leqslant \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i) - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p(x_i)\right|+\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p(x_i) - \int_0^1 p(x)\, \mathrm{d}x\right|+\left|\int_0^1 p(x)\, \mathrm{d}x - \int_0^1 f(x)\, \mathrm{d}x\right| \leqslant 3\varepsilon}.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 435
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: SEEMOUS 2019 / 1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Μαρ 20, 2019 3:42 pm

Στο \Leftarrow μπορουμε να δειξουμε επιπλέον ότι το συμπέρασμα ισχυει για οποιαδήποτε ολοκληρώσιμη κατα Riemann. Bλέπε Νεγρεπόντη, τρίτος τόμος, ισοκατανεμημένες ακολουθίες.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης