SEEMOUS 2019/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

SEEMOUS 2019/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Μαρ 16, 2019 2:17 pm

Λογω έλλειψης χρονου βάζω μονο το 3ο θέμα που μου άρεσε ιδιαίτερα. Θα περιμένω λίγο και μετά θα βάλω μια ενδιαφέρουσα λύση που έχω σκεφτεί.

Έστω ένα θετικος ακέραιος n \geq 2 και n \times n πίνακες A, B με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς, έτσι ώστε B^2 = B. Να δείξετε οτι:

Rank(AB - BA) \leq Rank(AB + BA)


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos

Λέξεις Κλειδιά:
fdns
Δημοσιεύσεις: 46
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 13, 2012 3:46 pm

Re: SEEMOUS 2019/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από fdns » Σάβ Μαρ 16, 2019 10:32 pm

Από την ανισότητα του Frobenius εδώ έχουμε ότι:

\textrm{rank}\{ (B-I)(AB+BA)\} +\textrm{rank}\{ (AB+BA)(B-I)\}\leq\\ \textrm{rank}\{ AB+BA\} +\textrm{rank}\{ (B-I)(AB+BA)(B-I)\}

Όμως παρατηρούμε ότι (B-I)(AB+BA)(B-I)=0 και άρα:

\textrm{rank}\{BAB-AB\} +\textrm{rank}\{BAB-BA\} \leq \textrm{rank}\{AB+BA\}

Τέλος, από την υποπροσθετικότητα του \textrm{rank} καθώς και το γεγονός ότι \textrm{rank}\{ -X\}=\textrm{rank}\{ X\} για οποιοδήποτε πίνακα X, το ζητούμενο έπεται.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: SEEMOUS 2019/3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 17, 2019 10:01 am

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο πίνακας B

είναι διαγώνιος με στοιχεία στην διαγώνιο 0 η 1.

Γράφοντας τους πίνακες φαίνεται εύκολα το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης