Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 27, 2019 9:09 pm
Χτες ήταν ο ομώνυμος με τον τίτλο διαγωνισμός για την επιλογή της ομάδας στο έκπα, βάζω τα θέματα να τα συζητήσουμε:
Πρόβλημα 1:
Δείξτε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί πραγματικοί x, για τους οποίους το άπειρο άθροισμα:
να είναι ρητός αριθμός.
Πρόβλημα 2:
Έστω το σύνολο των πινάκων με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς με την εξής ιδιότητα: υπάρχει μη μηδενικό πολυώνυμο με μη αρνητικούς πραγματικούς συντελεστές έτσι ώστε .Έστω επίσης το σύνολο των συμμετρικών πινάκων.Για ποιους ακέραιους ν ισχύει:
(α) ;
(β)
Πρόβλημα 3:
Δίνονται με .Για ποιά υπάρχει συνεχής, αύξουσα συνάρτηση , όχι ταυτοτικά μηδέν, έτσι ώστε:
;
Πρόβλημα 4:
Για ποιά υπάρχει πίνακας με στοιχεία ρητούς έτσι ώστε:
Πρόβλημα 5:
Θεωρούμε πίνακες με στοιχεία ακέραιους αριθμούς, τέτοιους ώστε
και , και θέτουμε . Δείξτε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος k
για τον οποίο όλα τα στοιχεία του πίνακα
είναι ακέραιοι αριθμοί.
edit:μια διόρθωση στο 3.
Πρόβλημα 1:
Δείξτε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί πραγματικοί x, για τους οποίους το άπειρο άθροισμα:
να είναι ρητός αριθμός.
Πρόβλημα 2:
Έστω το σύνολο των πινάκων με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς με την εξής ιδιότητα: υπάρχει μη μηδενικό πολυώνυμο με μη αρνητικούς πραγματικούς συντελεστές έτσι ώστε .Έστω επίσης το σύνολο των συμμετρικών πινάκων.Για ποιους ακέραιους ν ισχύει:
(α) ;
(β)
Πρόβλημα 3:
Δίνονται με .Για ποιά υπάρχει συνεχής, αύξουσα συνάρτηση , όχι ταυτοτικά μηδέν, έτσι ώστε:
;
Πρόβλημα 4:
Για ποιά υπάρχει πίνακας με στοιχεία ρητούς έτσι ώστε:
Πρόβλημα 5:
Θεωρούμε πίνακες με στοιχεία ακέραιους αριθμούς, τέτοιους ώστε
και , και θέτουμε . Δείξτε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος k
για τον οποίο όλα τα στοιχεία του πίνακα
είναι ακέραιοι αριθμοί.
edit:μια διόρθωση στο 3.