Putnam 2018/B2
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Putnam 2018/B2
Έστω θετικός ακέραιος και έστω
Να δειχθεί ότι το δεχ έχει ρίζες στον κλειστό μοναδιαίο δίσκο .
Να δειχθεί ότι το δεχ έχει ρίζες στον κλειστό μοναδιαίο δίσκο .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 32
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm
Re: Putnam 2018/B2
Παρατηρούμε ότι
επομένως έχουμε
και άρα
Για να έχουμε ισότητα στην τελευταία θα πρέπει να ικανοποιούνται συγχρόνως οι απαιτήσεις
και οι οποίες μαζί δίνουν που έχει απορριφθεί
Άρα η εξίσωση δεν έχει λύση για
επομένως έχουμε
και άρα
Για να έχουμε ισότητα στην τελευταία θα πρέπει να ικανοποιούνται συγχρόνως οι απαιτήσεις
και οι οποίες μαζί δίνουν που έχει απορριφθεί
Άρα η εξίσωση δεν έχει λύση για
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Putnam 2018/B2
Το θέμα είναι γνωστό τουλάχιστον από το 1982, στην εξής μορφή.
Αν
τότε η εξίσωση
δεν έχει ρίζες στον δίσκο
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Putnam 2018/B2
Πολύ ωραία. Και εγώ έτσι το έκανα. Δεν μπορώ όμως να μην αναφέρω και την εξής όμορφη λύση που είδα εδώ.
Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι το ζητούμενο είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι το πολυώνυμο
δεν έχει ρίζες με .
Έστω . Οι ρίζες του είναι οι -ρίζες της μονάδας. Επειδή , από το θεώρημα Gauss-Lucas οι ρίζες ανήκουν στην κυρτή θήκη των ριζών του . Άρα οι μόνες πιθανές ρίζες του με είναι οι ρίζες του . Αυτές όμως δεν είναι ρίζες του επειδή το δεν έχει διπλή ρίζα.
Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι το ζητούμενο είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι το πολυώνυμο
δεν έχει ρίζες με .
Έστω . Οι ρίζες του είναι οι -ρίζες της μονάδας. Επειδή , από το θεώρημα Gauss-Lucas οι ρίζες ανήκουν στην κυρτή θήκη των ριζών του . Άρα οι μόνες πιθανές ρίζες του με είναι οι ρίζες του . Αυτές όμως δεν είναι ρίζες του επειδή το δεν έχει διπλή ρίζα.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Putnam 2018/B2
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Δεκ 19, 2018 3:04 pmΤο θέμα είναι γνωστό τουλάχιστον από το 1982, στην εξής μορφή.
Αν
τότε η εξίσωση
δεν έχει ρίζες στον δίσκο
Σταύρο, είναι ακόμη πιο παλιό! Στον σύνδεσμο που έδωσα στην προηγούμενή μου ανάρτηση γίνεται επίσης αναφορά στο θεώρημα Eneström-Kakeya. Γράφω μια γενική του μορφή.
Έστω πραγματικό πολυώνυμο με θετικούς συντελεστές. Έστω και
Τότε κάθε (πιθανώς μιγαδική) ρίζα του ικανοποιεί .
Στην περίπτωσή μας έχουμε και οπότε το συμπέρασμα έπεται.
Με λίγο ψάξιμο στο διαδίκτυο βρήκα το αρχείο εδώ. Αποδίδει την μορφή που έγραψα πιο πάνω στον Kakeya από το 1912 ενώ το ίδιο αποτέλεσμα είχε και ο Eneström από το 1893.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες