Putnam 2018/A4
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Putnam 2018/A4
Έστω πρώτοι μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι και έστω
για . Έστω στοιχεία μιας ομάδας ώστε
όπου το ταυτοτικό στοιχείο.
Να δειχθεί ότι .
για . Έστω στοιχεία μιας ομάδας ώστε
όπου το ταυτοτικό στοιχείο.
Να δειχθεί ότι .
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Putnam 2018/A4
Ωραίο.
Θα το δείξω με επαγωγή στο . Είναι προφανές όταν αφού , άρα που δίνει και άρα και . Για το επαγωγικό βήμα ελέγχουμε δύο περιπτώσεις.
Περίπτωση 1: Αν θέτω . Τότε για κάθε . Θέτω και . Τότε
Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε . Δηλαδή οπότε και .
Περίπτωση 2: Αν θέτω . Θέτω και .
Επειδή , κάθε ισούται είτε με είτε με . Στη παράσταση αντικαθιστώ κάθε εμφάνιση του με αν και με αν για να πάρω μια παράσταση στα η οποία είναι ίση με .
Έστω ότι στο βήμα έγραψα το για -οστή φορά. Αυτό σημαίνει ότι έγραψα και φορές το . Για να γράψω όμως τόσες φορές το πρέπει ακριβώς φορές να είχα για . Άρα Επειδή έχουμε επιπλέον ότι
Από το παίρνουμε που είναι ισοδύναμο με το
Από το παίρνουμε που είναι ισοδύναμο με το
Έχουμε λοιπόν ότι
Αυτό σημαίνει πως όταν γράψω το -οστό έχω γράψει ακριβώς φορές το . Δηλαδή
Εδώ πρέπει να δικαιολογήσω γιατί το είναι ο τελευταίος όρος της παράστασης. Το πλήθος των που γράφουμε είναι ίσο με . Επίσης, το πλήθος των είναι ίσο με .
Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε . Δηλαδή οπότε και .
Θα το δείξω με επαγωγή στο . Είναι προφανές όταν αφού , άρα που δίνει και άρα και . Για το επαγωγικό βήμα ελέγχουμε δύο περιπτώσεις.
Περίπτωση 1: Αν θέτω . Τότε για κάθε . Θέτω και . Τότε
Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε . Δηλαδή οπότε και .
Περίπτωση 2: Αν θέτω . Θέτω και .
Επειδή , κάθε ισούται είτε με είτε με . Στη παράσταση αντικαθιστώ κάθε εμφάνιση του με αν και με αν για να πάρω μια παράσταση στα η οποία είναι ίση με .
Έστω ότι στο βήμα έγραψα το για -οστή φορά. Αυτό σημαίνει ότι έγραψα και φορές το . Για να γράψω όμως τόσες φορές το πρέπει ακριβώς φορές να είχα για . Άρα Επειδή έχουμε επιπλέον ότι
Από το παίρνουμε που είναι ισοδύναμο με το
Από το παίρνουμε που είναι ισοδύναμο με το
Έχουμε λοιπόν ότι
Αυτό σημαίνει πως όταν γράψω το -οστό έχω γράψει ακριβώς φορές το . Δηλαδή
Εδώ πρέπει να δικαιολογήσω γιατί το είναι ο τελευταίος όρος της παράστασης. Το πλήθος των που γράφουμε είναι ίσο με . Επίσης, το πλήθος των είναι ίσο με .
Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε . Δηλαδή οπότε και .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 14 επισκέπτες