Πρωταρχική ρίζα της μονάδας

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4394
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Πρωταρχική ρίζα της μονάδας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 23, 2018 11:46 am

Έστω \zeta μία ρίζα της μονάδος. Αποδείξατε ότι:

\displaystyle{\frac{1}{\zeta} = \sum_{n=0}^{\infty} \zeta^n \left ( 1-\zeta \right ) \left ( 1-\zeta^2 \right ) \cdots \left ( 1- \zeta^n \right )}
με τη προϋπόθεση ότι ο 0 - ος όρος είναι 1.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πρωταρχική ρίζα της μονάδας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Σεπ 23, 2018 7:27 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 23, 2018 11:46 am
Έστω \zeta μία ρίζα της μονάδος. Αποδείξατε ότι:

\displaystyle{\frac{1}{\zeta} = \sum_{n=0}^{\infty} \zeta^n \left ( 1-\zeta \right ) \left ( 1-\zeta^2 \right ) \cdots \left ( 1- \zeta^n \right )}
με τη προϋπόθεση ότι ο 0 - ος όρος είναι 1.
Ισχύει η ταυτότητα

1=x+\sum_{k=1}^{n-1}x^{k+1}(1-x)...(1-x^{k})+(1-x)(1-x^{2})....(1-x^{n})

η απόδειξη της γίνεται με μια απλή επαγωγή.

Αν λοιπόν \zeta είναι μια ρίζα της μονάδας ώστε το n είναι ο ελάχιστος φυσικός με \zeta ^{n+1}=1

και θέσουμε στην ταυτότητα x=\zeta

και διαιρέσουμε με το \zeta παίρνουμε την ζητούμενη αφού \frac{1}{\zeta }=\zeta ^{n}

Την ταυτότητα φυσικά και δεν την ήξερα.Την ανακάλυψα από την άσκηση.
Κερδίσαμε και μια ταυτότητα λοιπόν.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες