IMC 2018/2/4
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
IMC 2018/2/4
Να βρεθούν όλα τα ζεύγη μιγαδικών πολυωνύμων με μεγιστοβάθμιο συντελεστή ίσο με ώστε το να διαιρεί το και το να διαιρεί το .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 50
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: IMC 2018/2/4
Έστω δυο πολυωνυμα
Αν τα πολυώνυμα αυτά είναι μονικά τέτοια ώστε τοτε (1)
Απόδειξη:
Εστω ότι υπάρχουν ζεύγη πολυωνυμων με (2)
Υποθέτουμε ότι υπάρχει ζεύγος τέτοιων πολυωνυμων
με (3) για κάθε αλλο ζεύγος πολυωνυμων που ικανοποιεί την σχεση (2)
Αν και πολυωνυμο τέτοιο ώστε:
Από την παραπάνω σχεση προκύπτει ότι το είναι ρίζα της εξίσωσης
Από τους τύπος η άλλη λυση είναι .Η σχεση αυτή δείχνει ότι το είναι μονικό πολυώνυμο
Άρα το ζεύγος ικανοποιεί την σχεση (1)
Ισχύει ότι ,άτοπο λόγω της σχέσης (3)
Η σχεση (1) δίνει
Οποτε το πολυωνυμο
είναι σταθερό
Αν είναι σταθερά πολυώνυμα τοτε
Αν τοτε αφού τα είναι μονικα ισχύει ότι ο συντελεστής του
μεγιστοβαθμιου όρου του πολυωνύμου είναι το 2 και ο μεγιστοβαθμιος συντελεστής του είναι το 1
Άρα
Συνεπώς και
Οποτε ή
Αν τα πολυώνυμα αυτά είναι μονικά τέτοια ώστε τοτε (1)
Απόδειξη:
Εστω ότι υπάρχουν ζεύγη πολυωνυμων με (2)
Υποθέτουμε ότι υπάρχει ζεύγος τέτοιων πολυωνυμων
με (3) για κάθε αλλο ζεύγος πολυωνυμων που ικανοποιεί την σχεση (2)
Αν και πολυωνυμο τέτοιο ώστε:
Από την παραπάνω σχεση προκύπτει ότι το είναι ρίζα της εξίσωσης
Από τους τύπος η άλλη λυση είναι .Η σχεση αυτή δείχνει ότι το είναι μονικό πολυώνυμο
Άρα το ζεύγος ικανοποιεί την σχεση (1)
Ισχύει ότι ,άτοπο λόγω της σχέσης (3)
Η σχεση (1) δίνει
Οποτε το πολυωνυμο
είναι σταθερό
Αν είναι σταθερά πολυώνυμα τοτε
Αν τοτε αφού τα είναι μονικα ισχύει ότι ο συντελεστής του
μεγιστοβαθμιου όρου του πολυωνύμου είναι το 2 και ο μεγιστοβαθμιος συντελεστής του είναι το 1
Άρα
Συνεπώς και
Οποτε ή
Τσούρα Χριστίνα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες