IMC 2018/2/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2018/2/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 26, 2018 11:47 am

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη μιγαδικών πολυωνύμων P(x),Q(x) με μεγιστοβάθμιο συντελεστή ίσο με 1 ώστε το P(x) να διαιρεί το Q(x)^2+1 και το Q(x) να διαιρεί το P(x)^2+1.



Λέξεις Κλειδιά:
christinat
Δημοσιεύσεις: 47
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: IMC 2018/2/4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christinat » Παρ Σεπ 06, 2019 12:25 am

Έστω δυο πολυωνυμα P,Q\in \mathbb{C}
Αν τα πολυώνυμα αυτά είναι μονικά τέτοια ώστε P*Q|P^{2}+Q^{2}+1 τοτε degP=degQ(1)
Απόδειξη:
Εστω ότι υπάρχουν ζεύγη πολυωνυμων (P_{i },Q_{i }) με degP_{i }\neq degQ_{i }(2)

Υποθέτουμε ότι υπάρχει ζεύγος τέτοιων πολυωνυμων (P,Q)
με degP+degQ<degP_{i }+degQ_{i }(3) για κάθε αλλο ζεύγος πολυωνυμων που ικανοποιεί την σχεση (2)

Αν degP>degQ και H πολυωνυμο τέτοιο ώστε: \frac{P^{2}+Q^{2}+1}{Q*P}=H

Από την παραπάνω σχεση προκύπτει ότι το P είναι ρίζα της εξίσωσης X^{2}-QHX+Q^{2}+1=0

Από τους τύπος Vieta η άλλη λυση είναι R=QH-P=\frac{Q^{2}+1}{P}.Η σχεση αυτή δείχνει ότι το R είναι μονικό πολυώνυμο

Άρα το ζεύγος (R,Q) ικανοποιεί την σχεση (1)

Ισχύει ότι degR=2degQ-degP<deg P,άτοπο λόγω της σχέσης (3)

Η σχεση (1) δίνει deg(PQ)=deg(P^{2}+Q^{2}+1)
Οποτε το πολυωνυμο \frac{P^{2}+Q^{2}+1}{PQ}
είναι σταθερό

Αν P,Q είναι σταθερά πολυώνυμα τοτε P=Q=1

Αν degP=degQ\geq 1 τοτε αφού τα P,Q είναι μονικα ισχύει ότι ο συντελεστής του
μεγιστοβαθμιου όρου του πολυωνύμου P^{2}+Q^{2}+1 είναι το 2 και ο μεγιστοβαθμιος συντελεστής του PQ είναι το 1

Άρα \frac{P^{2}+Q^{2}+1}{PQ}=2

Συνεπώς P^{2}+Q^{2}+1=2PQ και (P-Q)^{2}=-1

Οποτε Q=P+i ή Q=P-i


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης