IMC 2018/2/2
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2018/2/2
Αυτό μου άρεσε. Πρωτα απ' όλα παρατηρούμε ότι για κάθε , καθώς διαφορετικά θα είχαμε .
Μετά, δείχνουμε πως η ακολουθία είναι μη θετική. Αν δεν είναι, τότε επειδή , υπάρχει με και , οπότε , άρα , άτοπο.
Έχουμε τώρα .
Ακομα, από την αναδρομική έχουμε εύκολα με επαγωγή: για περιττό και ανάποδα για άρτιο. Άρα η προηγούμενη ανισότητα δίνει γενικά, , ενώ για περιττό .
Επομένως έχουμε:
Οπότε από τις 3 τελευταίες έχουμε: γενικά και για περιττό. Άρα έχουμε:
όπου για τον οστό όρο έχουμε:
και άρα το κριτήριο λόγου μας λέει πως η τελευταία συγκλίνει (ή πιο απλά, φράσουμε από Γεωμετρική σειρά). Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.
Μετά, δείχνουμε πως η ακολουθία είναι μη θετική. Αν δεν είναι, τότε επειδή , υπάρχει με και , οπότε , άρα , άτοπο.
Έχουμε τώρα .
Ακομα, από την αναδρομική έχουμε εύκολα με επαγωγή: για περιττό και ανάποδα για άρτιο. Άρα η προηγούμενη ανισότητα δίνει γενικά, , ενώ για περιττό .
Επομένως έχουμε:
Οπότε από τις 3 τελευταίες έχουμε: γενικά και για περιττό. Άρα έχουμε:
όπου για τον οστό όρο έχουμε:
και άρα το κριτήριο λόγου μας λέει πως η τελευταία συγκλίνει (ή πιο απλά, φράσουμε από Γεωμετρική σειρά). Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: IMC 2018/2/2
Γράφουμε
(δεν νομίζω εδώ να έχουν πρόβλημα με αρνητικές τρίτες ρίζες)
Θεωρούμε την
Εύκολα βλέπουμε ότι
και
οπότε στο είναι
Είναι
Τα παρακάτω είναι γνωστά (θεώρημα σταθερού σημείου στην Αριθμητική Ανάλυση)
οπότε λόγω γεωμετρικής σειράς έχουμε την σύγκλιση.
To είναι παραπλανητικό.
Θα μπορούσε να δοθεί
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες