Σελίδα 1 από 1

IMC 2018/2/1

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 26, 2018 11:39 am
από Demetres
Έστω θετικός ακέραιος k. Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ακέραιος n για τον οποίο υπάρχουν k μη μηδενικά διανύσματα v_1,v_2,\ldots,v_k στο \mathbb{R}^n ώστε για κάθε i,j με |i-j|>1 τα διανύσματα v_i να v_j είναι κάθετα.

Re: IMC 2018/2/1

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 26, 2018 2:53 pm
από Nick1990
Ας δούμε και αυτό:

Αν έχουμε τα k διανύσματα σε μια σειρά, τότε είτε στις άρτιες είτε στις περιττές θέσεις υπάρχουν \lceil{\frac{k}{2}\rceil} από αυτά που θα είναι ανα 2 κάθετα, άρα γραμμικώς ανεξάρτητα, οπότε ο χώρος τους πρέπει να έχει διάσταση τουλάχιστον \lceil{\frac{k}{2}\rceil}.

Ο \mathbb{R}^{n} με n = \lceil{\frac{k}{2}\rceil} δουλεύει, διότι παίρνουμε μια ορθοκανονική βάση u_1, u_2, ..., u_n και τα βάζουμε στη σειρά:
u_1, u_1, u_2, u_2, ..., u_{n-1}, u_n, u_n. Αν ο k είναι άρτιος και έχουμε k = 2n, τότε αυτά είναι τα v_1, ..., v_k, διότι εύκολα έχουν τη ζητούμενη ιδιότητα. Αν ο k είναι περιττός και έχουμε k = 2n - 1, απλά πετάμε το τελευταίο u_n και έχουμε πάλι τα ζητούμενα διανύσματα.

Re: IMC 2018/2/1

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 04, 2018 4:58 pm
από Demetres
Αμέλησα να το γράψω αλλά μια γενίκευση του πιο πάνω το Λήμμα 1 του κεφαλαίου 10 στο βιβλίο "Combinatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors and Combinatorial Probability" του Bollobás.

Μπορείτε να δείτε το Λήμμα 1 εδώ:

https://books.google.cz/books?id=psqFNl ... ed&f=false

Έχω κάποιο πρόβλημα με τον σύνδεσμο. Επιλέξτε την σελίδα 71. Θα προσπαθήσω να το φτιάξω όταν επιστρέψω Κύπρο μιας και τώρα γράφω από το αεροδρόμιο της Πράγας.


Το λήμμα δείχνει επίσης ότι πέραν κάποιων προφανών τροποποιήσεων το παράδειγμα του Νίκου είναι μοναδικό.