IMC 2018/1/2

[Demetres]

Υπάρχει σώμα του οποίου η πολλαπλασιαστική ομάδα να είναι ισόμορφη με την προσθετική του;

[Nick1990]

Υπάρχει σώμα του οποίου η πολλαπλασιαστική ομάδα να είναι ισόμορφη με την προσθετική του;

Θα γράψω τη σκέψη που κρύβεται πίσω από τη λύση πρώτα: Προφανώς το σώμα θα είναι άπειρο διότι διαφορετικά οι 2 ομάδες δεν είναι ισοπληθικές, άρα ούτε ισόμορφες. Κοιτάμε τώρα να δούμε τι γίνεται σε ένα κλασικό παράδειγμα άπειρου σώματος, που είναι το . Η σχέση μας λέει πως λαμβάνονται μόνο θετικές τιμές από τον ισομορφισμό , που είναι άτοπο. Βλέπουμε λοιπόν πως το κλειδί είναι στο να λαμβάνονται αντίθετες τιμές από την ή στο να μπορεί το να πάρει κάθε τιμή μέσα στο σώμα.

Πάμε τώρα στη λύση: Αν είναι ο ισομορφισμός, είναι , οπότε πρέπει . Παίρνω τώρα με . Τότε , άρα . Άρα είτε ή το αντιστρέφεται και το σώμα έχει χαρακτηριστική . Στην πρώτη περίπτωση όμως έχουμε οπότε πάλι έχουμε χαρακτηριστική . Tότε όμως για κάθε , οπότε για κάθε και άρα το σώμα θα είναι το σωμα με στοιχεία, το οποίο δεν δουλεύει (όπως και κανενα πεπερασμένο σωμα, για το λόγο που αναφέραμε πιο πάνω).

[Demetres]

Ήμουν σίγουρος ότι την είχα δει ξανά στο βιβλίο του Halmos "Linear Algebra Problem Book". Το μετροφύλλισα χθες χωρίς να βρω κάτι.

Σήμερα θυμήθηκα. Ήταν σε βιβλίο του Halmos αλλά όχι στο πιο πάνω. Είναι η άσκηση 10Β3 στο βιβλίο "Problems for Mathematicians, Young and Old".

Αντιγράφω την λύση μιας και είναι λίγο διαφορετική από του Νίκου:

Προφανώς το σώμα δεν μπορεί να είναι πεπερασμένο οπότε ας υποθέσουμε ότι είναι άπειρο.

Αν υπάρχει ισομορφισμός, τότε υπάρχει 1 προς 1 αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων με τάξη προσθετικά και αυτών με τάξη πολλαπλασιαστικά.

Οι λύσεις της είναι είτε είτε αναλόγως αν το σώμα έχει τάξη ή όχι.
Οι λύσεις της είναι είτε άπειρες είτε αναλόγως αν το σώμα έχει τάξη ή όχι.

Οπότε δεν υπάρχει ισομορφισμός.