IMC 2018/1/1

#1

Έστω ακολουθίες θετικών αριθμών $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ και $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ . Να δειχθεί ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

(α) Υπάρχει ακολουθία θετικών αριθμών $(c_n)_{n=1}^{\infty}$ ώστε οι σειρές $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{c_n}}$ και $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{c_n}{b_n}}$ να συγκλίνουν.

(β) Η σειρά $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\sqrt{\frac{a_n}{b_n}}}$ συγκλίνει.

dement · #2

$( \Longrightarrow )$ Αφού συγκλίνουν οι σειρές $\displaystyle \frac{a_n}{c_n}, \frac{c_n}{b_n}$ , προφανώς θα συγκλίνει και ο αριθμητικός μέσος τους $\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{a_n}{c_n} + \frac{c_n}{b_n} \right)$ (στον αριθμητικό μέσο των ορίων). Έτσι, από κριτήριο σύγκρισης, θα συγκλίνει και ο γεωμετρικός μέσος $\displaystyle 0 \leqslant \sqrt{\frac{a_n}{b_n}} \leqslant \frac{1}{2} \left( \frac{a_n}{c_n} + \frac{c_n}{b_n} \right)$ .

$(\Longleftarrow)$ Θέτουμε $c_n \equiv \sqrt{a_n b_n}$ . Έτσι, οι δύο σειρές ισούνται με την συγκλίνουσα $\displaystyle \sqrt{\frac{a_n}{b_n}$ .

#3

Ωραία ασκησούλα για πρώτο θέμα.

Αλλιώς το $\Rightarrow$ .

Για κάθε

έχουμε από C-S

$\displaystyle \sum_{n=1}^{N}{\sqrt{\frac{a_n}{b_n}}}= \sum_{n=1}^{N}{\sqrt{\frac{a_n}{c_n}}} {\sqrt{\frac{c_n}{b_n}}} \le \left ( \sum_{n=1}^{N}{\frac{a_n}{c_n}} \right ) ^{\frac {1}{2} } \left ( \sum_{n=1}^{N}{\frac{c_n}{b_n}} \right ) ^{\frac {1}{2} }\le M$ (για κάποιο φράγμα

, λόγω σύγκλισης).

IMC 2018/1/1

IMC 2018/1/1

Re: IMC 2018/1/1

Re: IMC 2018/1/1

Μέλη σε σύνδεση