IMC 2006/2/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8211
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2006/2/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιουν 20, 2018 1:29 pm

Έστω v_0 το μηδενικό διάνυσμα στο \mathbb{R}^n και έστω v_1,\ldots,v_{n+1} διανύσματα στο \mathbb{R}^n ώστε η Ευκλείδεια νόρμα \|v_i - v_j\|_2 να είναι ρητή για κάθε 0 \leqslant i ,j \leqslant n+1.

Να δειχθεί ότι τα v_1,\ldots,v_{n+1} είναι γραμμικώς εξαρτημένα υπέρ των ρητών.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2006/2/4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Ιουν 20, 2018 4:10 pm

Τα n+1 διανύσματα v_1, v_2, ..., v_{n+1} είναι προφανώς γραμμικώς εξαρτημένα υπεράνω του \mathbb{R}.

Γράφουμε (μεταθέτοντας κατάλληλα τα διανύσματα) \displaystyle v_{k+1} = \sum_{i=1}^k c_i v_i με c_i \in \mathbb{R} και v_1,...,v_k γραμμικώς ανεξάρτητα (k \leqslant n).

Παίρνουμε εσωτερικά γινόμενα με τα v_j \ (1 \leqslant j \leqslant k) και κατασκευάζουμε ένα σύστημα k \times k με εξισώσεις

\displaystyle v_j \cdot v_{k+1} = \sum_{i=1}^k c_i (v_j \cdot v_i)

Αλλά ισχύει \displaystyle v_j \cdot v_i = \frac{1}{2} \left( \|v_j - v_0 \|_2^2 + \|v_i - v_0 \|_2^2 - \|v_j - v_i \|_2^2 \right) \in \mathbb{Q} (στην ουσία αυτή είναι όλη η άσκηση).

Έτσι, το σύστημά μας έχει ρητούς συντελεστές και σταθερές και μη μηδενική ορίζουσα συντελεστών (λόγω γραμμικής ανεξαρτησίας). Οπότε έχει μοναδική ρητή λύση, οι συντελεστές c_i είναι ρητοί και τα διανύσματά μας είναι γραμμικώς εξαρτημένα υπεράνω του \mathbb{Q}.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8211
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2006/2/4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιουν 20, 2018 10:37 pm

Εγώ το έκανα με επαγωγή στην διάσταση του V = \langle v_1,\ldots,v_{n+1} \rangle. Εργάζομαι επίσης με την ισοδύναμη συνθήκη (δείτε στην ανάρτηση πιο πάνω) ότι όλα τα v_i \cdot v_j είναι ρητοί. Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι v_{n+1} \notin \langle v_1,\ldots,v_{n+1} \rangle.

Έστω v_1',\ldots,v_n' οι προβολές των v_1,\ldots,v_n στο υπερεπίπεδο H = \{x: x\cdot v_{n+1} = 0\}. Είναι \displaystyle  v_i' = v_i - \frac{v_i \cdot v_{n+1}}{\|v_{n+1}\|_2^2} v_{n+1} για κάθε i.

Τα v_i' \cdot v_j' είναι επίσης ρητοί και τα v_1',\cdots,v_n' παράγουν χώρο V' μικρότερης διάστασης από τον V. (Προφανές γεωμετρικά. Αλγεβρικά άμεσο από το v_i' \cdot v_{n+1} = 0 για κάθε i, οπότε v_{n+1} \notin V'.)

Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε γραμμική εξάρτηση υπεράνω του \mathbb{R} για τα v_1',\ldots,v_n' η οποία με αντικατάσταση δίνει γραμμική εξάρτηση για τα v_1,\ldots,v_{n+1}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης