IMC 2006/2/4

Έστω

το μηδενικό διάνυσμα στο $\mathbb{R}^n$ και έστω $v_1,\ldots,v_{n+1}$ διανύσματα στο $\mathbb{R}^n$ ώστε η Ευκλείδεια νόρμα $\|v_i - v_j\|_2$ να είναι ρητή για κάθε $0 \leqslant i ,j \leqslant n+1$ .

Να δειχθεί ότι τα $v_1,\ldots,v_{n+1}$ είναι γραμμικώς εξαρτημένα υπέρ των ρητών.

dement

Τα

διανύσματα $v_1, v_2, ..., v_{n+1}$ είναι προφανώς γραμμικώς εξαρτημένα υπεράνω του $\mathbb{R}$ .

Γράφουμε (μεταθέτοντας κατάλληλα τα διανύσματα) $\displaystyle v_{k+1} = \sum_{i=1}^k c_i v_i$ με $c_i \in \mathbb{R}$ και v_1,...,v_k

γραμμικώς ανεξάρτητα $(k \leqslant n)$ .

Παίρνουμε εσωτερικά γινόμενα με τα $v_j \ (1 \leqslant j \leqslant k)$ και κατασκευάζουμε ένα σύστημα $k \times k$ με εξισώσεις

$\displaystyle v_j \cdot v_{k+1} = \sum_{i=1}^k c_i (v_j \cdot v_i)$

Αλλά ισχύει $\displaystyle v_j \cdot v_i = \frac{1}{2} \left( \|v_j - v_0 \|_2^2 + \|v_i - v_0 \|_2^2 - \|v_j - v_i \|_2^2 \right) \in \mathbb{Q}$ (στην ουσία αυτή είναι όλη η άσκηση).

Έτσι, το σύστημά μας έχει ρητούς συντελεστές και σταθερές και μη μηδενική ορίζουσα συντελεστών (λόγω γραμμικής ανεξαρτησίας). Οπότε έχει μοναδική ρητή λύση, οι συντελεστές c_i

είναι ρητοί και τα διανύσματά μας είναι γραμμικώς εξαρτημένα υπεράνω του $\mathbb{Q}$ .

Εγώ το έκανα με επαγωγή στην διάσταση του $V = \langle v_1,\ldots,v_{n+1} \rangle$ . Εργάζομαι επίσης με την ισοδύναμη συνθήκη (δείτε στην ανάρτηση πιο πάνω) ότι όλα τα $v_i \cdot v_j$ είναι ρητοί. Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι $v_{n+1} \notin \langle v_1,\ldots,v_{n+1} \rangle$ .

Έστω $v_1',\ldots,v_n'$ οι προβολές των $v_1,\ldots,v_n$ στο υπερεπίπεδο $H = \{x: x\cdot v_{n+1} = 0\}$ . Είναι $\displaystyle v_i' = v_i - \frac{v_i \cdot v_{n+1}}{\|v_{n+1}\|_2^2} v_{n+1}$ για κάθε

.

Τα $v_i' \cdot v_j'$ είναι επίσης ρητοί και τα $v_1',\cdots,v_n'$ παράγουν χώρο

μικρότερης διάστασης από τον

. (Προφανές γεωμετρικά. Αλγεβρικά άμεσο από το $v_i' \cdot v_{n+1} = 0$ για κάθε

, οπότε $v_{n+1} \notin V'$ .)

Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε γραμμική εξάρτηση υπεράνω του $\mathbb{R}$ για τα $v_1',\ldots,v_n'$ η οποία με αντικατάσταση δίνει γραμμική εξάρτηση για τα $v_1,\ldots,v_{n+1}$ .

IMC 2006/2/4

IMC 2006/2/4

Re: IMC 2006/2/4

Re: IMC 2006/2/4

Μέλη σε σύνδεση