Πολλαπλό άθροισμα με όριο

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3522
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Πολλαπλό άθροισμα με όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιουν 14, 2018 5:20 pm

Να υπολογιστεί το όριο

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n(n+5)} \sum_{k=1}^{n} \;\;  \sum \limits_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} \frac{2^k}{\left ( i_1+1 \right )\left ( i_2+1 \right )\cdots \left ( i_k+1 \right )}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Πολλαπλό άθροισμα με όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Ιουν 14, 2018 6:12 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιουν 14, 2018 5:20 pm
Να υπολογιστεί το όριο

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n(n+5)} \sum_{k=1}^{n} \;\;  \sum \limits_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} \frac{2^k}{\left ( i_1+1 \right )\left ( i_2+1 \right )\cdots \left ( i_k+1 \right )}}
Γράφουμε \displaystyle 1 +  \sum_{k=1}^{n} \;\;  \sum \limits_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} \frac{2^k}{\left ( i_1+1 \right )\left ( i_2+1 \right )\cdots \left ( i_k+1 \right )}} = \prod_{k=1}^n \left( 1 + \frac{2}{k+1} \right). Το αρχικό 1 δεν πρόκειται να μας χαλάσει το όριο, οπότε το κρατάμε.

Ισχύει \displaystyle \prod_{k=1}^n \left( 1 + \frac{2}{k+1} \right) = \prod_{k=1}^n \left( \frac{k+3}{k+1} \right) = \frac{(n+2)(n+3)}{6} (τηλεσκοπικό γινόμενο).

Έτσι, τελικά το όριο είναι \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{(n+2)(n+3)}{6n(n+5)} = \frac{1}{6}.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης