Vojtech Jarnik 2018/1 Category II
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Vojtech Jarnik 2018/1 Category II
Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης:
Λέξεις Κλειδιά:
- AlexandrosG
- Δημοσιεύσεις: 466
- Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
- Επικοινωνία:
Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II
Γράφουμε την εξίσωση ως . Παρατηρούμε ότι η εξίσωση έχει λύσεις . Δείχνουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες. Έστω μια πραγματική λύση της εξίσωσης. Θεωρούμε την συνάρτηση με πεδίο ορισμού . Εφόσον η εξίσωση έχει λύση, έχουμε . Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με . Από το θεώρημα Rolle υπάρχει με . Aφού , παίρνουμε , άτοπο.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II
Λίγο διαφορετικά:
Η συνάρτηση έχει δεύτερη παράγωγη . Άρα η είναι αυστηρά κυρτή για και για ενώ είναι αυστηρά κοίλη για .
Άρα για ή από την ανισότητα Karamata έχουμε ενώ για ισχύει η ανάποδη ανισότητα.
Οπότε ισότητα έχουμε μόνο για . (Απλός έλεγχος.)
Η συνάρτηση έχει δεύτερη παράγωγη . Άρα η είναι αυστηρά κυρτή για και για ενώ είναι αυστηρά κοίλη για .
Άρα για ή από την ανισότητα Karamata έχουμε ενώ για ισχύει η ανάποδη ανισότητα.
Οπότε ισότητα έχουμε μόνο για . (Απλός έλεγχος.)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II
Έχω την ίδια άσκηση στην γενική της μορφή, με για διαφορετικούς μεταξύ τους θετικούς , στο βιβλίο μου Επαναληπτικά Θέματα, σελίς 287. Παραθέτω συνοπτικά την λύση για την παραπάνω ειδική περίπτωση: .
Από ΘΜΤ στην με σταθερό και μεταβλητό (παραγώγιση ως προς ) υπάρχουν (και άρα άνισα μεταξύ τους) με Άρα . Τελικά ή .
-
- Δημοσιεύσεις: 785
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II
Το αστείο είναι ότι αυτή την άσκηση την διδάσκω σε όλα τα παιδιά της Γ΄λυκείου για τις πανελλήνιες! Δεν είναι λίγο εύκολη για διαγωνισμό?
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II
Δεν νομίζω ότι είναι εύκολη.Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Τετ Απρ 25, 2018 12:37 pmΤο αστείο είναι ότι αυτή την άσκηση την διδάσκω σε όλα τα παιδιά της Γ΄λυκείου για τις πανελλήνιες! Δεν είναι λίγο εύκολη για διαγωνισμό?
Προφανώς δεν γνώριζαν αυτοί που έβαλαν τα θέματα ότι εμείς εδώ έχουμε ΄'ξεφύγει''.
-
- Δημοσιεύσεις: 785
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II
Τι να πω δεν ξέρω... Η λύση που συζητάω με τα παιδιά είναι η λύση που πρότεινε ο κύριος Μιχάλης.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Απρ 25, 2018 1:11 pmΔεν νομίζω ότι είναι εύκολη.Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Τετ Απρ 25, 2018 12:37 pmΤο αστείο είναι ότι αυτή την άσκηση την διδάσκω σε όλα τα παιδιά της Γ΄λυκείου για τις πανελλήνιες! Δεν είναι λίγο εύκολη για διαγωνισμό?
Προφανώς δεν γνώριζαν αυτοί που έβαλαν τα θέματα ότι εμείς εδώ έχουμε ΄'ξεφύγει''.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II
Την άσκηση την έλυσαν 40 από τους 71 διαγωνιζόμενους. (Βάζω και αυτούς που πήραν 9 από τα 10.) Άρα για επίπεδα διαγωνισμού ήταν εύκολη αλλά όχι τετριμμένη. Από ένα πολύ σύντομο έλεγχο, φαίνεται ότι τα τελευταία χρόνια η πρώτη άσκηση έχει περίπου τον ίδιο βαθμό επιτυχίας.
Αν και είναι μεγάλη κουβέντα αυτή, στις Πανελλήνιες θεωρώ ότι όντως έχουν ξεφύγει τα πράγματα.
Αν και είναι μεγάλη κουβέντα αυτή, στις Πανελλήνιες θεωρώ ότι όντως έχουν ξεφύγει τα πράγματα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες