Σελίδα 1 από 1

Vojtec Jarnik 2018/4 Category I

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 14, 2018 12:28 pm
από Demetres
Έστω αυστηρώς φθίνουσα συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ώστε

\displaystyle  f(f(x))^4 - f(f(x)) + f(x) = 1

για κάθε x \in \mathbb{R}. Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές (πεπερασμένες ή άπειρες) του

\displaystyle  \lim_{x \to -\infty} f(x) - \lim_{x \to +\infty} f(x)

Re: Vojtec Jarnik 2018/4 Category I

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 25, 2018 11:35 am
από dement
Αυτό είχε μείνει.

Το δεδομένο μπορεί να διατυπωθεί και ως:

Για κάθε x \in f(\mathbb{R}) ισχύει f(x)^4 - f(x) = 1-x \Leftrightarrow (g \circ f) (x) = 1-x, όπου g(x) \equiv x^4 - x.

Η g έχει ολικό ελάχιστο στο 4^{-1/3} με τιμή -3 \cdot 4^{-4/3}. Έτσι, για κάθε x \in f(\mathbb{R}) θα ισχύει ότι το f(x) \in g^{-1} (1-x) θα είναι είτε μεγαλύτερο ή ίσο του 4^{-1/3} ("άνω κλάδος") είτε μικρότερο ή ίσο του 4^{-1/3} ("κάτω κλάδος"). Αλλά το f(\mathbb{R}) είναι διάστημα θετικού μέτρου. Έτσι, για να διασφαλιστεί η μονοτονία, πρέπει να επιλεγεί ο άνω κλάδος. Στο εξής θεωρούμε g(x) \equiv x^4 - x με πεδίο ορισμού [4^{-1/3}, + \infty) και h \equiv g^{-1} \circ (1-x). Επομένως f(f(x)) = h(f(x)).

Προφανώς το f(\mathbb{R}) είναι φραγμένο άνω, οπότε \displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = L \in \mathbb{R}. Αν \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = - \infty, τότε \displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = \lim_{x \to - \infty} h(x) = +\infty (άτοπο). Επομένως \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = l \in \mathbb{R} και f(\mathbb{R}) = (l, L), \ l, L \in \mathbb{R}.

Πρέπει και αρκεί να ισχύει l < h(L) < h(l) < L. Το "πρέπει" είναι προφανές από τη μονοτονία. Για το "αρκεί", παρατηρούμε ότι, με τις κατάλληλες τιμές στο (l,L) (f(x) \equiv h(x)), μπορούμε πάντα να κατασκευάσουμε γνησίως φθίνοντα τμήματα στο (- \infty, l] (με τιμές στο [h(l), L)) και στο [L, + \infty) (με τιμές στο (l, h(L)]).

Αφού h(L) < L, έπεται ότι L > 1 (το μόνο σταθερό σημείο της φθίνουσας h). Έτσι, L \in (1, 1 + 3 \cdot 4^{-4/3}]. Επιλέγοντας l < h(L), επαληθεύουμε τη συνθήκη l < h(L) < h(l). Απομένει να επαληθευτεί η h(l) < L \Leftrightarrow l > h^{-1} (L). Διαπιστώνουμε ότι h^{-1} (x) < h(x) για κάθε x \in (1, 1 + 3 \cdot 4^{-4/3}] (επειδή οι h, h^{-1} είναι κοίλες, h(1) = h^{-1}(1) και \displaystyle \frac{h(1+3 \cdot 4^{-4/3}) - h(1)}{3 \cdot 4^{-4/3}} > (h^{-1})' (1). Αρκεί λοιπόν l \in \left( h^{-1}(L), h(L) \right).

Έτσι, μπορούμε να επιλέξουμε οποιαδήποτε τιμή για το L από το (1, 1 + 3 \cdot 4^{-4/3}], επιλέγοντας συγχρόνως το l από το \left( h^{-1}(L), h(L) \right). Αφού h^{-1}(L) < h(L) < L και \displaystyle \lim_{L \to 1^+} h(L) = \lim_{L \to 1^+} h^{-1} (L) = 1, το L - l ανήκει στο \left( 0, 1 + 3 \cdot 4^{-4/3} - h^{-1} (1 + 3 \cdot 4^{-4/3}) \right) = \left( 0, (1 + 3 \cdot 4^{-4/3})^4 - 1 \right).