Vojtec Jarnik 2018/4 Category I

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8261
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtec Jarnik 2018/4 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 14, 2018 12:28 pm

Έστω αυστηρώς φθίνουσα συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ώστε

\displaystyle  f(f(x))^4 - f(f(x)) + f(x) = 1

για κάθε x \in \mathbb{R}. Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές (πεπερασμένες ή άπειρες) του

\displaystyle  \lim_{x \to -\infty} f(x) - \lim_{x \to +\infty} f(x)



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Vojtec Jarnik 2018/4 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Απρ 25, 2018 11:35 am

Αυτό είχε μείνει.

Το δεδομένο μπορεί να διατυπωθεί και ως:

Για κάθε x \in f(\mathbb{R}) ισχύει f(x)^4 - f(x) = 1-x \Leftrightarrow (g \circ f) (x) = 1-x, όπου g(x) \equiv x^4 - x.

Η g έχει ολικό ελάχιστο στο 4^{-1/3} με τιμή -3 \cdot 4^{-4/3}. Έτσι, για κάθε x \in f(\mathbb{R}) θα ισχύει ότι το f(x) \in g^{-1} (1-x) θα είναι είτε μεγαλύτερο ή ίσο του 4^{-1/3} ("άνω κλάδος") είτε μικρότερο ή ίσο του 4^{-1/3} ("κάτω κλάδος"). Αλλά το f(\mathbb{R}) είναι διάστημα θετικού μέτρου. Έτσι, για να διασφαλιστεί η μονοτονία, πρέπει να επιλεγεί ο άνω κλάδος. Στο εξής θεωρούμε g(x) \equiv x^4 - x με πεδίο ορισμού [4^{-1/3}, + \infty) και h \equiv g^{-1} \circ (1-x). Επομένως f(f(x)) = h(f(x)).

Προφανώς το f(\mathbb{R}) είναι φραγμένο άνω, οπότε \displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = L \in \mathbb{R}. Αν \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = - \infty, τότε \displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = \lim_{x \to - \infty} h(x) = +\infty (άτοπο). Επομένως \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = l \in \mathbb{R} και f(\mathbb{R}) = (l, L), \ l, L \in \mathbb{R}.

Πρέπει και αρκεί να ισχύει l < h(L) < h(l) < L. Το "πρέπει" είναι προφανές από τη μονοτονία. Για το "αρκεί", παρατηρούμε ότι, με τις κατάλληλες τιμές στο (l,L) (f(x) \equiv h(x)), μπορούμε πάντα να κατασκευάσουμε γνησίως φθίνοντα τμήματα στο (- \infty, l] (με τιμές στο [h(l), L)) και στο [L, + \infty) (με τιμές στο (l, h(L)]).

Αφού h(L) < L, έπεται ότι L > 1 (το μόνο σταθερό σημείο της φθίνουσας h). Έτσι, L \in (1, 1 + 3 \cdot 4^{-4/3}]. Επιλέγοντας l < h(L), επαληθεύουμε τη συνθήκη l < h(L) < h(l). Απομένει να επαληθευτεί η h(l) < L \Leftrightarrow l > h^{-1} (L). Διαπιστώνουμε ότι h^{-1} (x) < h(x) για κάθε x \in (1, 1 + 3 \cdot 4^{-4/3}] (επειδή οι h, h^{-1} είναι κοίλες, h(1) = h^{-1}(1) και \displaystyle \frac{h(1+3 \cdot 4^{-4/3}) - h(1)}{3 \cdot 4^{-4/3}} > (h^{-1})' (1). Αρκεί λοιπόν l \in \left( h^{-1}(L), h(L) \right).

Έτσι, μπορούμε να επιλέξουμε οποιαδήποτε τιμή για το L από το (1, 1 + 3 \cdot 4^{-4/3}], επιλέγοντας συγχρόνως το l από το \left( h^{-1}(L), h(L) \right). Αφού h^{-1}(L) < h(L) < L και \displaystyle \lim_{L \to 1^+} h(L) = \lim_{L \to 1^+} h^{-1} (L) = 1, το L - l ανήκει στο \left( 0, 1 + 3 \cdot 4^{-4/3} - h^{-1} (1 + 3 \cdot 4^{-4/3}) \right) = \left( 0, (1 + 3 \cdot 4^{-4/3})^4 - 1 \right).


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης