Vojtech Jarnik 2018/2 Category I

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7849
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 2018/2 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 14, 2018 12:18 pm

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι p ώστε ο p^3 να διαιρεί την ορίζουσα

\displaystyle  \begin{vmatrix}  
2^2 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 
1 & 3^2 & 1 & \cdots & 1\\ 
1 & 1 & 4^2 & \cdots & 1 \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
1 & 1 & 1 & \cdots & (p+7)^2 
\end{vmatrix}

Επεξεργασία: Διορθώθηκε το (p+3)^2 σε (p+7)^2



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1897
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Vojtech Jarnik 2018/2 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Απρ 14, 2018 10:49 pm

Demetres έγραψε:
Σάβ Απρ 14, 2018 12:18 pm
Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι p ώστε ο p^3 να διαιρεί την ορίζουσα

\displaystyle  \begin{vmatrix}  
2^2 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 
1 & 3^2 & 1 & \cdots & 1\\ 
1 & 1 & 4^2 & \cdots & 1 \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
1 & 1 & 1 & \cdots & (p+3)^2 
\end{vmatrix}
Αφαιρώντας την πρώτη γραμμή από τις άλλες η ορίζουσα είναι
(2^{2})(3^{2}-1)......((p+3)^{2}-1)
Προφανώς αυτός ο υπολογισμός είναι ΛΑΘΟΣ.Οπότε η παρακάτω λύση δεν είναι σωστή
προφανώς μια λύση είναι ο p=2

Για p>2 ο p δεν μπορεί να διαιρεί τους όρους μέχρι και το ((p-2)^{2}-1)

Ετσι ο p^{3}

πρέπει να διαιρεί το

((p-1)^{2}-1)(p^{2}-1)((p+1)^{2}-1)((p+2)^{2}-1)((p+3)^{2}-1)=
(p-2)p(p-1)(p+1)p(p+2)(p+1)(p+3)(p+2)(p+4)

Εύκολα βλέπουμε ότι αν p>3 ο p^{3} δεν το διαιρεί ενω για p=3

το διαίρει.

Αρα τελικά ο p είναι 2 η 3

Συμπλήρωμα.Η λύση είναι λάθος.Ευχαριστώ τον gavrilos που μου το υπέδειξε.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7849
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 2018/2 Category I

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Απρ 15, 2018 12:52 pm

Απολογούμαι και εγώ για ένα άλλο λάθος. Ο πίνακας πάει μέχρι το (p+7)^2 και όχι μέχρι το (p+3)^2. Θα κάνω τώρα την απαραίτητη διόρθωση. (Ευχαριστώ τον gavrilos που με ενημέρωσε.)


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1384
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Vojtech Jarnik 2018/2 Category I

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Απρ 16, 2018 4:14 pm

Αφαιρούμε την τελευταία γραμμή από όλες τις άλλες και έχουμε

D = \begin {vmatrix} 
2^2 & 1 & \cdot \cdot \cdot & 1 \\ 
1 & 3^2 & \cdot \cdot \cdot & 1 \\ 
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 
1 & 1 & \cdot \cdot \cdot & (p+7)^2 \\ 
\end {vmatrix} = \begin  {vmatrix} 
1 \cdot 3 & 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & -(p+6)(p+8) \\ 
0 & 2 \cdot 4 & 0 & \cdot \cdot \cdot & -(p+6)(p+8) \\ 
0 & 0 & 3 \cdot 5 & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot \\ 
\cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot \\ 
1 & 1 & 1 & \cdot \cdot \cdot & (p+7)^2 \\ 
\end {vmatrix}

Γράφουμε αυτή την ορίζουσα ως άθροισμα γινομένων παραγόντων, ενός από κάθε στήλη. Μία στήλη μπορεί να "συνεισφέρει" το διαγώνιο στοιχείο της ή (το πολύ μία στήλη) το 1 της τελευταίας γραμμής. Η τελευταία στήλη συνεισφέρει τη γραμμή που λείπει από το γινόμενο, με το κατάλληλο πρόσημο. Έτσι, η ορίζουσα ισούται με

\displaystyle D = (p+7)^2 \prod_{k=2}^{p+6} \left( (k-1)(k+1) \right) + (p+6)(p+8) \sum_{k=2}^{p+6} \prod_{\substack {i=2 \\ i \neq k}}^{p+6} \left( (i-1)(i+1) \right) =

\displaystyle = (p+7)^2 \frac{(p+5)! (p+7)!}{2} + \frac{(p+6)!(p+8)!}{2} \sum_{k=2}^{p+6} \frac{1}{(k-1)(k+1)}

Για το τελευταίο άθροισμα χρησιμοποιούμε τον τηλεσκοπικό τύπο \displaystyle \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{2(n+2)}. Εν τέλει η ορίζουσα ισούται με

\displaystyle D = \frac{ \left( (p+6)! \right)^2 (7p^2 + 101p + 362)}{8}

Για p=2 είναι προφανές ότι ο αριθμητής διαιρείται από το 64, οπότε ισχύει. Αλλιώς, χρησιμοποιούμε το θ. Wilson (\displaystyle (p-1)! \equiv -1 \mod p) και βλέπουμε ότι ο αριθμητής, πέρα από τον παράγοντα p^2 που υπάρχει στο τετράγωνο του παραγοντικού, είναι ισότιμος με (6!)^2 \cdot 362 \mod p. Έτσι, αν διαιρείται με p^3 πρέπει και αρκεί να ισχύει p \in \{2, 3, 5, 181 \}.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης