Σελίδα 1 από 1

Vojtech Jarnik 2018/2 Category I

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 14, 2018 12:18 pm
από Demetres
Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι p ώστε ο p^3 να διαιρεί την ορίζουσα

\displaystyle  \begin{vmatrix}  
2^2 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 
1 & 3^2 & 1 & \cdots & 1\\ 
1 & 1 & 4^2 & \cdots & 1 \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
1 & 1 & 1 & \cdots & (p+7)^2 
\end{vmatrix}

Επεξεργασία: Διορθώθηκε το (p+3)^2 σε (p+7)^2

Re: Vojtech Jarnik 2018/2 Category I

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 14, 2018 10:49 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Demetres έγραψε:
Σάβ Απρ 14, 2018 12:18 pm
Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι p ώστε ο p^3 να διαιρεί την ορίζουσα

\displaystyle  \begin{vmatrix}  
2^2 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 
1 & 3^2 & 1 & \cdots & 1\\ 
1 & 1 & 4^2 & \cdots & 1 \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
1 & 1 & 1 & \cdots & (p+3)^2 
\end{vmatrix}
Αφαιρώντας την πρώτη γραμμή από τις άλλες η ορίζουσα είναι
(2^{2})(3^{2}-1)......((p+3)^{2}-1)
Προφανώς αυτός ο υπολογισμός είναι ΛΑΘΟΣ.Οπότε η παρακάτω λύση δεν είναι σωστή
προφανώς μια λύση είναι ο p=2

Για p>2 ο p δεν μπορεί να διαιρεί τους όρους μέχρι και το ((p-2)^{2}-1)

Ετσι ο p^{3}

πρέπει να διαιρεί το

((p-1)^{2}-1)(p^{2}-1)((p+1)^{2}-1)((p+2)^{2}-1)((p+3)^{2}-1)=
(p-2)p(p-1)(p+1)p(p+2)(p+1)(p+3)(p+2)(p+4)

Εύκολα βλέπουμε ότι αν p>3 ο p^{3} δεν το διαιρεί ενω για p=3

το διαίρει.

Αρα τελικά ο p είναι 2 η 3

Συμπλήρωμα.Η λύση είναι λάθος.Ευχαριστώ τον gavrilos που μου το υπέδειξε.

Re: Vojtech Jarnik 2018/2 Category I

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 15, 2018 12:52 pm
από Demetres
Απολογούμαι και εγώ για ένα άλλο λάθος. Ο πίνακας πάει μέχρι το (p+7)^2 και όχι μέχρι το (p+3)^2. Θα κάνω τώρα την απαραίτητη διόρθωση. (Ευχαριστώ τον gavrilos που με ενημέρωσε.)

Re: Vojtech Jarnik 2018/2 Category I

Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 16, 2018 4:14 pm
από dement
Αφαιρούμε την τελευταία γραμμή από όλες τις άλλες και έχουμε

D = \begin {vmatrix} 
2^2 & 1 & \cdot \cdot \cdot & 1 \\ 
1 & 3^2 & \cdot \cdot \cdot & 1 \\ 
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 
1 & 1 & \cdot \cdot \cdot & (p+7)^2 \\ 
\end {vmatrix} = \begin  {vmatrix} 
1 \cdot 3 & 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & -(p+6)(p+8) \\ 
0 & 2 \cdot 4 & 0 & \cdot \cdot \cdot & -(p+6)(p+8) \\ 
0 & 0 & 3 \cdot 5 & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot \\ 
\cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot \\ 
1 & 1 & 1 & \cdot \cdot \cdot & (p+7)^2 \\ 
\end {vmatrix}

Γράφουμε αυτή την ορίζουσα ως άθροισμα γινομένων παραγόντων, ενός από κάθε στήλη. Μία στήλη μπορεί να "συνεισφέρει" το διαγώνιο στοιχείο της ή (το πολύ μία στήλη) το 1 της τελευταίας γραμμής. Η τελευταία στήλη συνεισφέρει τη γραμμή που λείπει από το γινόμενο, με το κατάλληλο πρόσημο. Έτσι, η ορίζουσα ισούται με

\displaystyle D = (p+7)^2 \prod_{k=2}^{p+6} \left( (k-1)(k+1) \right) + (p+6)(p+8) \sum_{k=2}^{p+6} \prod_{\substack {i=2 \\ i \neq k}}^{p+6} \left( (i-1)(i+1) \right) =

\displaystyle = (p+7)^2 \frac{(p+5)! (p+7)!}{2} + \frac{(p+6)!(p+8)!}{2} \sum_{k=2}^{p+6} \frac{1}{(k-1)(k+1)}

Για το τελευταίο άθροισμα χρησιμοποιούμε τον τηλεσκοπικό τύπο \displaystyle \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{2(n+2)}. Εν τέλει η ορίζουσα ισούται με

\displaystyle D = \frac{ \left( (p+6)! \right)^2 (7p^2 + 101p + 362)}{8}

Για p=2 είναι προφανές ότι ο αριθμητής διαιρείται από το 64, οπότε ισχύει. Αλλιώς, χρησιμοποιούμε το θ. Wilson (\displaystyle (p-1)! \equiv -1 \mod p) και βλέπουμε ότι ο αριθμητής, πέρα από τον παράγοντα p^2 που υπάρχει στο τετράγωνο του παραγοντικού, είναι ισότιμος με (6!)^2 \cdot 362 \mod p. Έτσι, αν διαιρείται με p^3 πρέπει και αρκεί να ισχύει p \in \{2, 3, 5, 181 \}.