Vojtech Jarnik 2018/1 Category I

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8261
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 2018/1 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 14, 2018 12:15 pm

Χρωματίζουμε κάθε σημείο του ορθογωνίου R = [0,4] \times [0,40] με ένα από τέσσερα χρώματα. Να δειχθεί ότι υπάρχουν τέσσερα σημεία στο R του ιδίου χρώματος τα οποία σχηματίζουν ορθογώνιο με ακέραιες πλευρές.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Απρ 14, 2018 1:41 pm

Επικεντρώνουμε στα ακέραια σημεία.

Κάθε γραμμή έχει 5 σημεία και, αφού τα χρώματα είναι 4, θα υπάρχουν δύο ομόχρωμα σημεία της. Ονομάζουμε αυτό το χρώμα της συγκεκριμένης γραμμής.

Υπάρχουν 41 γραμμές οπότε θα υπάρχουν 11 ομόχρωμες. Αφού τα ζεύγη σημείων σε κάθε γραμμή είναι \displaystyle \binom {5}{2}=10, θα υπάρχουν δύο ομόχρωμες γραμμές με το κοινό χρώμα στο ίδιο ζεύγος στηλών, που συνιστούν το ζητούμενο ορθογώνιο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης