Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα
Συντονιστής: Demetres
- AlexandrosG
- Δημοσιεύσεις: 466
- Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
- Επικοινωνία:
Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα
Έστω δύο πίνακες με ορίζουσα . Αποδείξτε ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε , και για κάθε .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15761
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα
AlexandrosG έγραψε: ↑Παρ Μαρ 30, 2018 10:10 pmΈστω δύο πίνακες με ορίζουσα . Αποδείξτε ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε , και για κάθε .
Ενδιαφέρον. Με λίγα λόγια λέει, με γλώσσα της Τοπολογίας, ότι οι πίνακες με ορίζουσα είναι path connected.
Θα συνδέσουμε με τον τρόπο που περιγράφεται παρακάτω τον προς τον ταυτοτικό με διαδρομή μέσω πινάκων ορίζουσας . Κατόπιν εργαζόμενοι όμοια μπορούμε να συνδέουμε τον με τον , και άρα τον με τον ακολουθώντας την ανάποδη πορεία. Εύκολα τώρα μπορούμε να πάμε από τον στον .
Ας δούμε λοιπόν έναν τρόπο να συνδέσουμε τον προς τον ταυτοτικό με τον ζητούμενο συνεχή τρόπο.
Υπάρχει αντιστρέψιμος και άνω τριγωνικός με διαγώνιο τις ιδιοτιμές του έτσι ώστε . Εδώ .
Ορίζουμε από την για .
Ορίζουμε τώρα τον πίνακα ως εξής
α) στην διαγώνιο έχει τους όρους εκτός από τον τελευταίο όρο ο οποίος είναι
β) Τα άνω της διαγωνίου στοιχεία είναι και τα κάτω, .
Παρατηρούμε ότι καθώς το γινόμενο των στοιχείων της διαγωνίου του είναι . Επίσης . Τέλος για ο πίνακας
α) στην διαγώνιο έχει τους όρους εκτός του τελευταίου που είναι πάλι διότι ισούται με
β) εκτός διαγωνίου έχει .
Δηλαδή .
Τέλος, η απεικόνισή μας είναι η η οποία βέβαια ικανοποιεί . Τελειώσαμε.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα
Γνώριζα το αποτέλεσμα με απόδειξη παρόμοιας λογικής με του Μιχάλη. Ας δούμε όμως και την εξής πιο σύντομη απόδειξη:
Λήμμα: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση με και αντιστρέψιμος για κάθε .
Αν αποδείξουμε το λήμμα τότε τα πράγματα είναι απλά αφού η συνάρτηση
στέλνει με συνεχή τρόπο τον στον ώστε για κάθε .
Απόδειξη Λήμματος: Αν μη αντιστρέψιμος τότε υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα ώστε . Οπότε και το είναι ιδιοδιάνυσμα του με ιδιοτιμή . O όμως έχει το πολύ διαφορετικές ιδιοτιμές που δίνουν το πολύ διαφορετικές τιμές του για τις οποίες ο δεν είναι αντιστρέψιμος. Είναι προφανές όμως ότι μπορούμε να κινηθούμε στο μιγαδικό επίπεδο από το στο αποφεύγοντας πεπερασμένο αριθμό σημείων.
Λήμμα: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση με και αντιστρέψιμος για κάθε .
Αν αποδείξουμε το λήμμα τότε τα πράγματα είναι απλά αφού η συνάρτηση
στέλνει με συνεχή τρόπο τον στον ώστε για κάθε .
Απόδειξη Λήμματος: Αν μη αντιστρέψιμος τότε υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα ώστε . Οπότε και το είναι ιδιοδιάνυσμα του με ιδιοτιμή . O όμως έχει το πολύ διαφορετικές ιδιοτιμές που δίνουν το πολύ διαφορετικές τιμές του για τις οποίες ο δεν είναι αντιστρέψιμος. Είναι προφανές όμως ότι μπορούμε να κινηθούμε στο μιγαδικό επίπεδο από το στο αποφεύγοντας πεπερασμένο αριθμό σημείων.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15761
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα
Πολλή ωραία η απόδειξη του Δημήτρη που αποφεύγει την διάσπαση .
Αυτό που είχα κατά νου στην απόδειξη που έγραψα είναι να βρούμε συνεχείς με και οι οποίες αποφεύγουν το (πρόκειται για το ίδιο τέχνασμα με του Δημήτρη, όπου η διαδρομή αποφεύγει τις ιδιοτιμές). Οι κάνουν ακριβώς αυτό, και τις κατέγραψα για να έχουμε κάτι χειροπιαστό.
Τώρα, αφού βρούμε τις για μπορούμε να πάρουμε καθώς τότε
και . Έτσι εξασφαλίζουμε ότι η ορίζουσα με διαγώνιο τα ισούται με . Τα υπόλοιπα, ως άνω.
Ευχαριστούμε Δημήτρη.
Αυτό που είχα κατά νου στην απόδειξη που έγραψα είναι να βρούμε συνεχείς με και οι οποίες αποφεύγουν το (πρόκειται για το ίδιο τέχνασμα με του Δημήτρη, όπου η διαδρομή αποφεύγει τις ιδιοτιμές). Οι κάνουν ακριβώς αυτό, και τις κατέγραψα για να έχουμε κάτι χειροπιαστό.
Τώρα, αφού βρούμε τις για μπορούμε να πάρουμε καθώς τότε
και . Έτσι εξασφαλίζουμε ότι η ορίζουσα με διαγώνιο τα ισούται με . Τα υπόλοιπα, ως άνω.
Ευχαριστούμε Δημήτρη.
- AlexandrosG
- Δημοσιεύσεις: 466
- Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
- Επικοινωνία:
Re: Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα
Πολύ ωραίες αποδείξεις.
Η απόδειξη μου: Θεωρούμε ''απλά'' . Το θέμα είναι ότι η συνάρτηση αυτή χρειάζεται να οριστεί καλά, και αυτό θέλει αρκετή δουλειά. Η ερμηνεία του είναι ως . Όταν ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος τότε ο λογάριθμος του ορίζεται πάντα και ικανοποιεί . Ο λογάριθμος ενός πίνακα μπορεί να οριστεί με διάφορους τρόπους. Ένας είναι μέσω της κανονικής μορφής Jordan. Ένας αλλός είναι μέσω της θεωρίας holomorphic functional calculus που μάλιστα επιτυγχάνει τον ορισμό συναρτήσεων όπως ο λογάριθμος για πιο γενικούς τελεστές από τους πίνακες.
Η απόδειξη μου: Θεωρούμε ''απλά'' . Το θέμα είναι ότι η συνάρτηση αυτή χρειάζεται να οριστεί καλά, και αυτό θέλει αρκετή δουλειά. Η ερμηνεία του είναι ως . Όταν ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος τότε ο λογάριθμος του ορίζεται πάντα και ικανοποιεί . Ο λογάριθμος ενός πίνακα μπορεί να οριστεί με διάφορους τρόπους. Ένας είναι μέσω της κανονικής μορφής Jordan. Ένας αλλός είναι μέσω της θεωρίας holomorphic functional calculus που μάλιστα επιτυγχάνει τον ορισμό συναρτήσεων όπως ο λογάριθμος για πιο γενικούς τελεστές από τους πίνακες.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα
Όπως με ενημέρωσε ο Σταύρος σε π.μ. υπάρχει ένα θέμα με την απόδειξή μου.
Πρέπει να διαιρέσω με την νιοστή ρίζα της ορίζουσας. Μετά όμως υπάρχει θέμα με την συνέχεια και μπορεί να μην καταλήξω στον αλλά στον για κάποια νιοστή ρίζα της μονάδας.
Είναι απλό τώρα να πάω από τον στον αλλάζοντας τα πρώτα στοιχεία της διαγωνίου με οποιοδήποτε συνεχή τρόπο που αποφεύγει το και το νιοστό στοιχείο της διαγωνίου με τέτοιο τρόπο ώστε να διατηρείται η ορίζουσα ίση με .
Πρέπει να διαιρέσω με την νιοστή ρίζα της ορίζουσας. Μετά όμως υπάρχει θέμα με την συνέχεια και μπορεί να μην καταλήξω στον αλλά στον για κάποια νιοστή ρίζα της μονάδας.
Είναι απλό τώρα να πάω από τον στον αλλάζοντας τα πρώτα στοιχεία της διαγωνίου με οποιοδήποτε συνεχή τρόπο που αποφεύγει το και το νιοστό στοιχείο της διαγωνίου με τέτοιο τρόπο ώστε να διατηρείται η ορίζουσα ίση με .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15761
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα
Δημήτρη και Σταύρο, εμένα μου φαίνεται μια χαρά η αρχική απόδειξη. Μήπως δεν βλέπω κάτι;
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα
Καλό μήνα Μιχάλη.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Απρ 01, 2018 7:13 pmΔημήτρη και Σταύρο, εμένα μου φαίνεται μια χαρά η αρχική απόδειξη. Μήπως δεν βλέπω κάτι;
Ο Δημήτρης έχει γράψει
τότε
.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες