SEEMOUS 2018/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7781
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2018/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μαρ 08, 2018 5:02 pm

(α) Έστω πολυωνυμική συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}. Να δειχθεί ότι

\displaystyle  \int_0^{\infty} e^{-x}f(x) \, \mathrm{d}x = f(0) + f'(0) + f''(0) + \cdots
(β) Έστω συνάρτηση f η οποία έχει ανάπτυγμα Taylor στο 0 με άπειρη ακτίνα σύγκλισης. Να δειχθεί ότι αν το \displaystyle  \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(0) συγκλίνει απόλυτα, τότε και το \displaystyle  \int_0^{\infty} e^{-x}f(x) \, \mathrm{d}x συγκλίνει, και

\displaystyle  \int_0^{\infty} e^{-x}f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(0)



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1795
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: SEEMOUS 2018/4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 11, 2018 12:47 am

α)Με μια παραγοντική είναι

I_{n}=\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=n\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx=nI_{n-1}

Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι I_{n}=n!


Επειδή f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}

μια ολοκλήρωση μας δίνει το συμπέρασμα.

β)Θα χρησιμοποιήσω βαριά εργαλεία.

Θέτουμε a_{n}=f^{(n)}(0)

Είναι f(x)=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{a_{k}}{k!}x^{k}

Εστω g(x)=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{\left | a_{k} \right |}{k!}x^{k}

Η g είναι καλά ορισμένη διότι η ακολουθία (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}
είναι φραγμένη.

Εστω g_{n}(x)=e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\frac{\left | a_{k} \right |}{k!}x^{k}

Από το α) είναι \int_{0}^{\infty }g_{n}(x)dx=\sum_{k=0}^{n}\left | a_{k} \right |

Είναι φανερό ότι η (g_{n}) είναι αύξουσα στο (0,\infty )

και κατά σημείο έχουμε g_{n}(x)\rightarrow e^{-x}g(x)

Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης του Lebesgue έχουμε ότι

\int_{0}^{\infty }e^{-x}g(x)dx=\sum_{k=0}^{\infty }\left | a_{k} \right |

Ετσι η  e^{-x}g(x) είναι ολοκληρώσιμη (Lebesgue)

Θέτουμε f_{n}(x)=e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\frac{a_{k}}{k!}x^{k}

Εχουμε ότι \left | f_{n}(x) \right |\leq \left | e^{-x}g(x) \right |

και κατά σημείο f_{n}(x)\rightarrow e^{-x}f(x).

Το θεώρημα κυριαρχιμένης σύγκλισης του Lebesgue καθώς και το α) μας δίνουν το συμπέρασμα.

Παρατήρηση.
Το ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι \infty προκύπτει άμεσα από το ότι η σειρά
\sum_{k=0}^{\infty }\left | a_{k} \right | συγκλίνει.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1361
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: SEEMOUS 2018/4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Μαρ 12, 2018 7:15 am

Το (β) με κάπως ελαφρότερα εργαλεία.

Για κάθε x, η ακολουθία \displaystyle f_n (t) = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(0) \frac{t^k \mathrm{e}^{-t}}{k!} συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0,x] από κριτήριο Weierstrass (οι όροι φράσσονται από την \displaystyle |f^{(k)} (0)| \frac{x^k}{k!} με άθροισμα που συγκλίνει). Έτσι, \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} f^{(k)}(0) \int_0^x \frac{t^k \mathrm{e}^{-t}}{k!} \mathrm{d}t = \int_0^x f(t) \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t.

Εξετάζουμε την ακολουθία συναρτήσεων \displaystyle F_n (x) = \sum_{k=0}^n f^{(k)} (0) \int_0^x \frac{t^k  \mathrm{e}^{-t}}{k!} \mathrm{d}t.

Αυτή συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0, + \infty) λόγω κριτηρίου Weierstrass. Πράγματι, \displaystyle \int_0^x \frac{t^k \mathrm{e}^{-t}}{k!} \mathrm{d}t \leqslant \int_0^{+ \infty} \frac{t^k \mathrm{e}^{-t}}{k!} \mathrm{d}t = 1 και \displaystyle \sum_{k=0}^\infty |f^{(k)}(0)| < + \infty.

Λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης, αφού υπάρχει το όριο \displaystyle \lim_{n \to \infty} \lim_{x \to +\infty} F_n (x) = \sum_{k=0}^\infty f^{(k)} (0), αυτό θα ισούται με \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \lim_{n \to \infty} F_n (x) = \int_0^{+ \infty} f(t) \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d} t.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: dement και 2 επισκέπτες