Σελίδα 1 από 1

SEEMOUS 2018/4

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μαρ 08, 2018 5:02 pm
από Demetres
(α) Έστω πολυωνυμική συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}. Να δειχθεί ότι

\displaystyle  \int_0^{\infty} e^{-x}f(x) \, \mathrm{d}x = f(0) + f'(0) + f''(0) + \cdots
(β) Έστω συνάρτηση f η οποία έχει ανάπτυγμα Taylor στο 0 με άπειρη ακτίνα σύγκλισης. Να δειχθεί ότι αν το \displaystyle  \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(0) συγκλίνει απόλυτα, τότε και το \displaystyle  \int_0^{\infty} e^{-x}f(x) \, \mathrm{d}x συγκλίνει, και

\displaystyle  \int_0^{\infty} e^{-x}f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(0)

Re: SEEMOUS 2018/4

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 11, 2018 12:47 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
α)Με μια παραγοντική είναι

I_{n}=\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=n\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx=nI_{n-1}

Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι I_{n}=n!


Επειδή f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}

μια ολοκλήρωση μας δίνει το συμπέρασμα.

β)Θα χρησιμοποιήσω βαριά εργαλεία.

Θέτουμε a_{n}=f^{(n)}(0)

Είναι f(x)=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{a_{k}}{k!}x^{k}

Εστω g(x)=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{\left | a_{k} \right |}{k!}x^{k}

Η g είναι καλά ορισμένη διότι η ακολουθία (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}
είναι φραγμένη.

Εστω g_{n}(x)=e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\frac{\left | a_{k} \right |}{k!}x^{k}

Από το α) είναι \int_{0}^{\infty }g_{n}(x)dx=\sum_{k=0}^{n}\left | a_{k} \right |

Είναι φανερό ότι η (g_{n}) είναι αύξουσα στο (0,\infty )

και κατά σημείο έχουμε g_{n}(x)\rightarrow e^{-x}g(x)

Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης του Lebesgue έχουμε ότι

\int_{0}^{\infty }e^{-x}g(x)dx=\sum_{k=0}^{\infty }\left | a_{k} \right |

Ετσι η  e^{-x}g(x) είναι ολοκληρώσιμη (Lebesgue)

Θέτουμε f_{n}(x)=e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\frac{a_{k}}{k!}x^{k}

Εχουμε ότι \left | f_{n}(x) \right |\leq \left | e^{-x}g(x) \right |

και κατά σημείο f_{n}(x)\rightarrow e^{-x}f(x).

Το θεώρημα κυριαρχιμένης σύγκλισης του Lebesgue καθώς και το α) μας δίνουν το συμπέρασμα.

Παρατήρηση.
Το ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι \infty προκύπτει άμεσα από το ότι η σειρά
\sum_{k=0}^{\infty }\left | a_{k} \right | συγκλίνει.

Re: SEEMOUS 2018/4

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 12, 2018 7:15 am
από dement
Το (β) με κάπως ελαφρότερα εργαλεία.

Για κάθε x, η ακολουθία \displaystyle f_n (t) = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(0) \frac{t^k \mathrm{e}^{-t}}{k!} συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0,x] από κριτήριο Weierstrass (οι όροι φράσσονται από την \displaystyle |f^{(k)} (0)| \frac{x^k}{k!} με άθροισμα που συγκλίνει). Έτσι, \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} f^{(k)}(0) \int_0^x \frac{t^k \mathrm{e}^{-t}}{k!} \mathrm{d}t = \int_0^x f(t) \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t.

Εξετάζουμε την ακολουθία συναρτήσεων \displaystyle F_n (x) = \sum_{k=0}^n f^{(k)} (0) \int_0^x \frac{t^k  \mathrm{e}^{-t}}{k!} \mathrm{d}t.

Αυτή συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0, + \infty) λόγω κριτηρίου Weierstrass. Πράγματι, \displaystyle \int_0^x \frac{t^k \mathrm{e}^{-t}}{k!} \mathrm{d}t \leqslant \int_0^{+ \infty} \frac{t^k \mathrm{e}^{-t}}{k!} \mathrm{d}t = 1 και \displaystyle \sum_{k=0}^\infty |f^{(k)}(0)| < + \infty.

Λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης, αφού υπάρχει το όριο \displaystyle \lim_{n \to \infty} \lim_{x \to +\infty} F_n (x) = \sum_{k=0}^\infty f^{(k)} (0), αυτό θα ισούται με \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \lim_{n \to \infty} F_n (x) = \int_0^{+ \infty} f(t) \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d} t.