Σελίδα 1 από 1

SEEMOUS 2018/3

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μαρ 08, 2018 4:58 pm
από Demetres
Έστω πίνακες A,B \in \mathcal{M}_{2018}(\mathbb{R}) ώστε AB = BA και A^{2018} = B^{2018} = I.

Αν \mathrm{Tr}(AB) = 2018, να δειχθεί ότι \mathrm{Tr}(A) = \mathrm{Tr}(B).

Re: SEEMOUS 2018/3

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μαρ 08, 2018 5:56 pm
από dement
Αφού A^{2018} = B^{2018} = (AB)^{2018} = I, οι A, B, AB είναι διαγωνιοποιήσιμοι. Επίσης, οι ιδιοτιμές του AB είναι όλες 2018-οστές ρίζες της μονάδας και, αφού το άθροισμά τους είναι 2018, πρέπει να είναι όλες 1. Λόγω του διαγωνιοποιήσιμου, έχουμε AB = I \implies B = A^{-1}.

Έτσι, για κάθε ιδιοτιμή r του A (επίσης 2018-οστή ρίζα της μονάδας), η r^{-1} = \bar{r} θα είναι ιδιοτιμή του B (με την ίδια αλγεβρική πολλαπλότητα). Αλλά, αφού οι πίνακες είναι πραγματικοί, οι ιδιοτιμές είναι ζεύγη συζυγών. Οπότε τα αθροίσματά τους είναι ίσα και \mathrm{Tr}A = \mathrm{Tr}B.