SEEMOUS 2018/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8541
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2018/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μαρ 08, 2018 4:58 pm

Έστω πίνακες A,B \in \mathcal{M}_{2018}(\mathbb{R}) ώστε AB = BA και A^{2018} = B^{2018} = I.

Αν \mathrm{Tr}(AB) = 2018, να δειχθεί ότι \mathrm{Tr}(A) = \mathrm{Tr}(B).



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: SEEMOUS 2018/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Μαρ 08, 2018 5:56 pm

Αφού A^{2018} = B^{2018} = (AB)^{2018} = I, οι A, B, AB είναι διαγωνιοποιήσιμοι. Επίσης, οι ιδιοτιμές του AB είναι όλες 2018-οστές ρίζες της μονάδας και, αφού το άθροισμά τους είναι 2018, πρέπει να είναι όλες 1. Λόγω του διαγωνιοποιήσιμου, έχουμε AB = I \implies B = A^{-1}.

Έτσι, για κάθε ιδιοτιμή r του A (επίσης 2018-οστή ρίζα της μονάδας), η r^{-1} = \bar{r} θα είναι ιδιοτιμή του B (με την ίδια αλγεβρική πολλαπλότητα). Αλλά, αφού οι πίνακες είναι πραγματικοί, οι ιδιοτιμές είναι ζεύγη συζυγών. Οπότε τα αθροίσματά τους είναι ίσα και \mathrm{Tr}A = \mathrm{Tr}B.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης