SEEMOUS 2018/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8541
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2018/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μαρ 08, 2018 4:56 pm

Έστω πίνακες A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}), B \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}), C \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R}) και D \in \mathcal{M}_{q,m}(\mathbb{R}) όπου m,n,p,q θετικοί ακέραιοι, ώστε

\displaystyle  A^t = BCD, B^t = CDA, C^t = DAB και D^t = ABC.

Να δειχθεί ότι (ABCD)^2 = ABCD.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: SEEMOUS 2018/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Παρ Μαρ 09, 2018 10:38 am

Έστω \displaystyle X = ABCD \in {\mathcal{M}_{m,m}}\left( \mathbb{R} \right). Παρατηρούμε ότι \displaystyle X = A{A^t} και άρα ο πίνακας \displaystyle X είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Επίσης, είναι:

\displaystyle {X^3} = \left( {ABC} \right)\left( {DAB} \right)\left( {CDA} \right)\left( {BCD} \right) = {D^t}{B^t}{C^t}{A^t} = {\left( {ABCD} \right)^t} = {X^t} = X.

Ο πίνακας \displaystyle X είναι διαγωνοποιήσιμος, με ιδιοτιμές που ανήκουν στο σύνολο \displaystyle \left\{ { - 1,0,1} \right\}. Αφού, όμως, ο \displaystyle X είναι θετικά ορισμένος, ο αριθμός \displaystyle { - 1} δεν μπορεί να είναι ιδιοτιμή του \displaystyle X. Άρα, οι ιδιοτιμές του \displaystyle X ανήκουν στο σύνολο \displaystyle \left\{ {0,1} \right\}, οπότε θα είναι \displaystyle {X^2} = X και το ζητούμενο δείχθηκε.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης