mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 08, 2018 4:52 pm**

Έστω ολοκληρώσιμη κατά Riemann συνάρτηση $f:[0,1] \to (0,1)$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{2\int_0^1 xf^2(x) \, \mathrm{d}x}{\int_0^1 (f^2(x)+1) \, \mathrm{d}x} < \frac{\int_0^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x}{\int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x}}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 08, 2018 10:22 pm**

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 08, 2018 4:52 pm
Έστω ολοκληρώσιμη κατά Riemann συνάρτηση $f:[0,1] \to (0,1)$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{2\int_0^1 xf^2(x) \, \mathrm{d}x}{\int_0^1 (f^2(x)+1) \, \mathrm{d}x} < \frac{\int_0^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x}{\int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x}}$

Παρατηρούμε ότι $\frac{2\int_{0}^{1}xf^2(x)dx}{\int_{0}^{1}(f^2(x)+1)dx}< \frac{2\int_{0}^{1}f^2(x)dx}{\int_{0}^{1}(f^2(x)+1)dx}$
Aφού $xf^2(x)<f^2(x) \forall x\in [0,1)$
Aρκεί να δειχθεί ότι $\frac{2\int_{0}^{1}f^2(x)dx}{\int_{0}^{1}(f^2(x)+1)dx}< \frac{\int_{0}^{1}f^2(x)dx}{\int_{0}^{1}f(x)dx}\Leftrightarrow \int_{0}^{1}2f(x)dx< \int_{0}^{1}(f^2(x)+1)dx\Leftrightarrow \int_{0}^{1}(f(x)-1)^2dx> 0$
Και η γνήσια ανισότητα ισχύει λόγω του $f:[0,1] \to (0,1)$

mathematica.gr

SEEMOUS 2018/1

SEEMOUS 2018/1

Re: SEEMOUS 2018/1