SEEMOUS 2018/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8541
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2018/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μαρ 08, 2018 4:52 pm

Έστω ολοκληρώσιμη κατά Riemann συνάρτηση f:[0,1] \to (0,1). Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\frac{2\int_0^1 xf^2(x) \, \mathrm{d}x}{\int_0^1 (f^2(x)+1) \, \mathrm{d}x} < \frac{\int_0^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x}{\int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: SEEMOUS 2018/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Πέμ Μαρ 08, 2018 10:22 pm

Demetres έγραψε:
Πέμ Μαρ 08, 2018 4:52 pm
Έστω ολοκληρώσιμη κατά Riemann συνάρτηση f:[0,1] \to (0,1). Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\frac{2\int_0^1 xf^2(x) \, \mathrm{d}x}{\int_0^1 (f^2(x)+1) \, \mathrm{d}x} < \frac{\int_0^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x}{\int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x}}
Παρατηρούμε ότι \frac{2\int_{0}^{1}xf^2(x)dx}{\int_{0}^{1}(f^2(x)+1)dx}< \frac{2\int_{0}^{1}f^2(x)dx}{\int_{0}^{1}(f^2(x)+1)dx}
Aφού xf^2(x)<f^2(x) \forall x\in [0,1)
Aρκεί να δειχθεί ότι \frac{2\int_{0}^{1}f^2(x)dx}{\int_{0}^{1}(f^2(x)+1)dx}< \frac{\int_{0}^{1}f^2(x)dx}{\int_{0}^{1}f(x)dx}\Leftrightarrow \int_{0}^{1}2f(x)dx< \int_{0}^{1}(f^2(x)+1)dx\Leftrightarrow \int_{0}^{1}(f(x)-1)^2dx> 0
Και η γνήσια ανισότητα ισχύει λόγω του f:[0,1] \to (0,1)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης