Άθροισμα

panos99 · #1

Να δειχθεί ότι $\forall n\in\mathbb{N}^*$ ισχύει

$\sum\frac{1}{m_1!\,1^{m_1}\,m_2!\,2^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n^{m_n}}=1.$

Το άθροισμα λαμβάνεται πάνω σε όλες τις

άδες μη αρνητικών ακεραίων $(m_1,m_2,\dots,m_n)$ για τις οποίες ισχύει

$1\cdot m_1+2\cdot m_2+\,\cdots \,+n\cdot m_n=n.$

(Ζητώ ταπεινά συγγνώμη για το λάθος μου.)

#2

Δεν φαίνεται να είναι σωστό. Π.χ. μόνο η

-άδα $(0,0,\ldots,1)$ συνεισφέρει

στο άθροισμα.

Μήπως εννοείς ότι

$\displaystyle \sum \frac{1}{m_1! 1^{m_1} m_2!2^{m_2} \cdots m_n!n^{m_n}} = 1$

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 10, 2018 9:52 pm
Δεν φαίνεται να είναι σωστό. Π.χ. μόνο η -άδα $(0,0,\ldots,1)$ συνεισφέρει στο άθροισμα.

Μήπως εννοείς ότι

$\displaystyle \sum \frac{1}{m_1! 1^{m_1} m_2!2^{m_2} \cdots m_n!n^{m_n}} = 1$

Δουλεύοντας με εκθετική γεννήτρια καταλήγω ότι αυτή είναι η $g(x)=e^{e^{x}-1}$ που είναι η εκθετική γεννήτρια των

αριθμών Bell. Οπότε το ζητούμενο άθροισμα είναι ίσο με τον ν-οστό αριθμό Bell. Ας επιβεβαιώσει ο αναρτήσας.

Σημείωση: H παραπάνω απάντησή μου αφορά την αρχική ανάρτηση για το άθροισμα $\sum \frac{n!}{m_1!( 1!)^{m_1} m_2!(2!)^{m_2} \cdots m_n!(n!)^{m_n}}$
.

Άθροισμα

Άθροισμα

Re: Άθροισμα

Re: Άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση