Ανισότητα

Συντονιστής: Demetres

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 727
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Δεκ 03, 2017 10:39 pm

Έστω πραγματικοί p_{i}\in[0,1] για κάθε i=1,2,...,n. Να δείξετε ότι
\displaystyle{ e^{-m}-\prod_{i=1}^{n}(1-p_{i})\leq me^{-m}\max p_{i} } όπου m=\sum_{i=1}^{n}p_{i}.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Δεκ 04, 2017 11:51 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Κυρ Δεκ 03, 2017 10:39 pm
Έστω πραγματικοί p_{i}\in[0,1] για κάθε i=1,2,...,n. Να δείξετε ότι
\displaystyle{ e^{-m}-\prod_{i=1}^{n}(1-p_{i})\leq me^{-m}\max p_{i} } όπου m=\sum_{i=1}^{n}p_{i}.
Θα δείξουμε το ισχυρότερο.
Αν -1\leq p_{i}\leq 1,i=1,2,...n

τότε

\exp(-\sum_{i=1}^{n}p_{i})-\prod_{i=1}^{n}(1-p_{i})\leq \exp(-\sum_{i=1}^{n}p_{i})\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}

η ισοδύναμα

\exp(\sum_{i=1}^{n}p_{i})\prod_{i=1}^{n}(1-p_{i})\geq 1-\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}

Για n=1 είναι η \exp x\geq 1+x
που ισχύει.

Επαγωγή στο n.

Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι

\exp(p_{n+1})(1-p_{n+1})\geq (1-p_{n+1}^{2})

και

(1-\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2})(1-p_{n+1}^{2})\geq 1-\sum_{i=1}^{n+1}p_{i}^{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης