Ύπαρξη (;) ρητού

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2878
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Ύπαρξη (;) ρητού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Δεκ 01, 2017 12:36 pm

Η παρακάτω άσκηση προέκυψε ψάχνοντας κάτι άλλο. Δεν κοίταξα να βρω λύση. Ίσως κάποιος που βρίσκει ενδιαφέρουσα την άσκηση να δώσει και μια λύση.

Έστω n τυχόν φυσικός αριθμός και P=\big\{\frac{i}{n}\; \big|\; i=0,1,\ldots, n\big\} η διαμέριση του διαστήματος [0,1] σε n τμήματα ίσου μήκους \frac{1}{n}. Να εξετασθεί αν ισχύει ότι σε κάθε διάστημα \big[\frac{i-1}{n}\,\frac{i}{n}\big], i=1,2,\ldots, n, υπάρχει ρητός \frac{p}{q} με (p,q)=1, τέτοιος ώστε να ισχύει \dfrac{1}{q}\leqslant\dfrac{1}{n^2}.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8468
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη (;) ρητού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Δεκ 01, 2017 12:50 pm

Υπάρχει.

Έστω διάστημα μήκους 1/n. Σε αυτό το διάστημα μπορούμε να βρούμε ακριβώς n ρητούς με παρονομαστή n^2, έστω τους \displaystyle  \frac{k+1}{n^2}, \ldots,\frac{k+n}{n^2}.

Από τους k+1,\ldots,k+n, ένας από αυτούς, έστω ο k+r θα είναι ισότιμος με 1 \bmod n. Άρα (k+r,n) = 1 και άρα (k+r,n^2) = 1.

Οπότε μπορούμε να πάρουμε p = k+r, q=n^2.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3113
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη (;) ρητού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Δεκ 01, 2017 4:28 pm

grigkost έγραψε:
Παρ Δεκ 01, 2017 12:36 pm
Η παρακάτω άσκηση προέκυψε ψάχνοντας κάτι άλλο. Δεν κοίταξα να βρω λύση. Ίσως κάποιος που βρίσκει ενδιαφέρουσα την άσκηση να δώσει και μια λύση.

Έστω n τυχόν φυσικός αριθμός και P=\big\{\frac{i}{n}\; \big|\; i=0,1,\ldots, n\big\} η διαμέριση του διαστήματος [0,1] σε n τμήματα ίσου μήκους \frac{1}{n}. Να εξετασθεί αν ισχύει ότι σε κάθε διάστημα \big[\frac{i-1}{n}\,\frac{i}{n}\big], i=1,2,\ldots, n, υπάρχει ρητός \frac{p}{q} με (p,q)=1, τέτοιος ώστε να ισχύει \dfrac{1}{q}\leqslant\dfrac{1}{n^2}.

Νομίζω ότι είναι πιο απλό από την λύση του Δημήτρη .
Βέβαια ο Δημήτρης στο διάστημα μήκους \frac{1}{n}
βρήκε ρητό με παρανομαστή ακριβώς n^{2}

Ισχύει ότι:
Αν I πεπερασμένο διάστημα και K>0 τότε υπάρχει ρητός

\frac{p}{q},(p,q)=1

με \frac{1}{q}< K και

\frac{p}{q}\in I

Απόδειξη.
Οι ρητοί που βρίσκονται στο I και έχουν παρανομαστή \leq \frac{1}{K}

είναι πεπερασμένοι.Οι ρητοί που βρίσκονται στο I είναι άπειροι.

Αρα υπάρχει ρητός \frac{p}{q},(p,q)=1
με

q> \frac{1}{K}
και

\frac{p}{q}\in I

Επειδή q> \frac{1}{K}\Leftrightarrow \frac{1}{q}< K

ολοκληρώνεται η απόδειξη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες