IMC 2007/1/6
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
IMC 2007/1/6
Πόσους μη μηδενικούς συντελεστές μπορεί να έχει ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές, αν για κάθε μιγαδικό αριθμό με ;
Λέξεις Κλειδιά:
Re: IMC 2007/1/6
Μπορούμε να έχουμε μη μηδενικούς συντελεστές (παράδειγμα ). Θα αποδείξουμε ότι δεν μπορούμε να έχουμε περισσότερους. Θέτουμε .
Έστω οι μη μηδενικοί συντελεστές. Τότε, ισχύει
όπου ο βαθμός του όρου που αντιστοιχεί στον συντελεστή .
Άρα η μέση τιμή του είναι . Αφού , η περίπτωση απορρίπτεται.
Απορρίπτεται και η περίπτωση γιατί τότε το θα έπρεπε να είναι σταθερό (που δεν ισχύει, αφού απομένει τουλάχιστον ένας όρος συνημιτόνου, αυτός με την ελάχιστη περίοδο).
Απομένει να εξετάσουμε την περίπτωση . Πρέπει να ισχύει (αλλιώς η μέση τιμή υπερβαίνει πάλι το ), ενώ οι συντελεστές δεν μπορούν να είναι ομόσημοι (αλλιώς ). Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας. Έτσι
Από τα δύο είναι ίσα και το τρίτο είναι μεγαλύτερο.
Αν τότε και ένα από τα δύο μέτρα υπερβαίνει το . Ομοίως αν .
Αν , τότε .
Αυτό ολοκληρώνει την περίπτωση .
Έστω οι μη μηδενικοί συντελεστές. Τότε, ισχύει
όπου ο βαθμός του όρου που αντιστοιχεί στον συντελεστή .
Άρα η μέση τιμή του είναι . Αφού , η περίπτωση απορρίπτεται.
Απορρίπτεται και η περίπτωση γιατί τότε το θα έπρεπε να είναι σταθερό (που δεν ισχύει, αφού απομένει τουλάχιστον ένας όρος συνημιτόνου, αυτός με την ελάχιστη περίοδο).
Απομένει να εξετάσουμε την περίπτωση . Πρέπει να ισχύει (αλλιώς η μέση τιμή υπερβαίνει πάλι το ), ενώ οι συντελεστές δεν μπορούν να είναι ομόσημοι (αλλιώς ). Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας. Έτσι
Από τα δύο είναι ίσα και το τρίτο είναι μεγαλύτερο.
Αν τότε και ένα από τα δύο μέτρα υπερβαίνει το . Ομοίως αν .
Αν , τότε .
Αυτό ολοκληρώνει την περίπτωση .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: IMC 2007/1/6
Να δώσω κάποια στοιχεία που έχουν σχέση με το πρόβλημα.
Στο https://en.wikipedia.org/wiki/Littlewood_polynomial
μπορείτε να δείτε μια εικασία του Littlewood σχετικά με πολυώνυμα που
οι συντελεστές τους είναι και η έχει
την ίδια τάξη μεγέθους με την στην μοναδιαία περιφέρεια.
Ο JEAN-PIERRE-KAHANE ο οποίος απεβίωσε πρόσφατα το
1980 στο BLMS v12 p5 Sept 1980 No38 είχε δημοσιεύσει το εξής
Υπάρχουν όπου
και
ωστε για να ισχύει
Στο https://en.wikipedia.org/wiki/Littlewood_polynomial
μπορείτε να δείτε μια εικασία του Littlewood σχετικά με πολυώνυμα που
οι συντελεστές τους είναι και η έχει
την ίδια τάξη μεγέθους με την στην μοναδιαία περιφέρεια.
Ο JEAN-PIERRE-KAHANE ο οποίος απεβίωσε πρόσφατα το
1980 στο BLMS v12 p5 Sept 1980 No38 είχε δημοσιεύσει το εξής
Υπάρχουν όπου
και
ωστε για να ισχύει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες