IMC 2007/1/6

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8238
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2007/1/6

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιούλ 22, 2017 2:41 pm

Πόσους μη μηδενικούς συντελεστές μπορεί να έχει ένα πολυώνυμο P(z) με ακέραιους συντελεστές, αν |P(z)| \leqslant 2 για κάθε μιγαδικό αριθμό z με |z|=1;



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2007/1/6

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Ιούλ 26, 2017 10:31 am

Μπορούμε να έχουμε 2 μη μηδενικούς συντελεστές (παράδειγμα P(z) = z + 1). Θα αποδείξουμε ότι δεν μπορούμε να έχουμε περισσότερους. Θέτουμε M(\theta) \equiv |P(e^{\mathrm{i} \theta})|^2.

Έστω a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{Z} οι μη μηδενικοί συντελεστές. Τότε, ισχύει

\displaystyle M(\theta) = \sum_{k=1}^n a_k^2 + 2 \sum_{p < q = 1}^n a_p a_q \cos \left( (d_p - d_q) \theta \right) όπου d_p ο βαθμός του όρου που αντιστοιχεί στον συντελεστή a_p.

Άρα η μέση τιμή του M(\theta) είναι \displaystyle \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} M(\theta) \mathrm{d} \theta = \sum_{k=1}^n a_k^2 \geqslant n. Αφού \displaystyle M(\theta) \leqslant 4, η περίπτωση n \geqslant 5 απορρίπτεται.

Απορρίπτεται και η περίπτωση n = 4 γιατί τότε το M(\theta) θα έπρεπε να είναι σταθερό (που δεν ισχύει, αφού απομένει τουλάχιστον ένας όρος συνημιτόνου, αυτός με την ελάχιστη περίοδο).

Απομένει να εξετάσουμε την περίπτωση n=3. Πρέπει να ισχύει |a_1|=|a_2|=|a_3|=1 (αλλιώς η μέση τιμή υπερβαίνει πάλι το 4), ενώ οι συντελεστές δεν μπορούν να είναι ομόσημοι (αλλιώς |P(1)|=3). Έστω a_1=a_2=1, a_3=-1 χωρίς βλάβη της γενικότητας. Έτσι

\displaystyle M(\theta) = 3 + 2 \cos \left( (d_1-d_2) \theta \right) - 2 \cos \left( (d_2-d_3) \theta \right) - 2 \cos \left( (d_1-d_3) \theta \right)

Από τα v_2(d_1-d_2), v_2( d_2-d_3), v_2(d_1-d_3) δύο είναι ίσα και το τρίτο είναι μεγαλύτερο.

Αν v_2 (d_1 - d_2) = v_2 (d_2 - d_3) = m, v_2(d_1-d_3) = l > m τότε \displaystyle \frac{1}{2} \left( M \left( \frac{\pi}{2^l} \right) + M \left( \frac{\pi}{2^l} + \frac{\pi}{2^m} \right) \right) = 5 και ένα από τα δύο μέτρα υπερβαίνει το 2. Ομοίως αν v_2(d_1-d_2) = v_2 (d_1-d_3) = m, v_2 (d_2-d_3) = l > m.

Αν v_2(d_2-d_3) = v_2(d_1-d_3) = m, v_2(d_1-d_2) = l > m, τότε \displaystyle \frac{1}{2} \left( M \left( \frac{2 \pi}{2^l} \right) + M \left( \frac{2 \pi}{2^l} + \frac{\pi}{2^m} \right) \right) = 5.

Αυτό ολοκληρώνει την περίπτωση n=3.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2621
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMC 2007/1/6

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 26, 2017 8:34 pm

Να δώσω κάποια στοιχεία που έχουν σχέση με το πρόβλημα.

Στο https://en.wikipedia.org/wiki/Littlewood_polynomial
μπορείτε να δείτε μια εικασία του Littlewood σχετικά με πολυώνυμα που

οι συντελεστές τους είναι 1,-1 και η \left \| \right \|_{2} έχει

την ίδια τάξη μεγέθους με την \left \| \right \|_{\infty } στην μοναδιαία περιφέρεια.

Ο JEAN-PIERRE-KAHANE ο οποίος απεβίωσε πρόσφατα το
1980 στο BLMS v12 p5 Sept 1980 No38 είχε δημοσιεύσει το εξής

Υπάρχουν P_{n}(z)=\sum_{m=1}^{n}a_{m,n}z^{m} όπου a_{m,n}\in \mathbb{C},\left | a_{m,n} \right |=1

και \varepsilon _{n}\rightarrow 0

ωστε για \left | z \right |=1,n\in \mathbb{N} να ισχύει

(1-\varepsilon _{n})\sqrt{n}\leq \left | P_{n}(z) \right |\leq (1+\varepsilon _{n})\sqrt{n}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης