Vojtech Jarnik 2017/4 Category II

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8281
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 2017/4 Category II

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μάιος 25, 2017 9:51 am

Ένας θετικός ακέραιος t ονομάζεται σπουδαίος αν t = x^3+y^2 για κάποιους θετικούς ακεραίους x,y. Να δειχθεί ότι για κάθε ακέραιο n \geqslant 2 υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι m ώστε το σύνολο \{m+1,m+2,\ldots,m+n^2\} να περιέχει ακριβώς n+1 σπουδαίους ακεραίους.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Vojtech Jarnik 2017/4 Category II

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Μάιος 25, 2017 7:40 pm

Έστω p(m) το πλήθος των σπουδαίων αριθμών στο \{m+1,...,m+n^2\}. Θα αποδείξουμε το λήμμα ότι υπάρχουν άπειροι m με p(m) \geqslant n+1.

Για την περίπτωση n=2 αρκεί να βρούμε m τέτοιο ώστε ο m^3-(m-1)^3+2 = 3m^2 - 3m + 3 να είναι τέλειο τετράγωνο. Έτσι, οι m^3+1, m^3+2, m^3+4 είναι οι αριθμοί μας.

Άρα, m^2-m+1=3k^2 για κάποιο k, που σημαίνει (από τη διακρίνουσα) ότι ο 4k^2-1=(2k-1)(2k+1)=3r^2 για κάποιο r. Αρκεί λοιπόν 2k+1=3p^2, 2k-1 = q^2. Επειδή η διοφαντική 3p^2-2=q^2 έχει άπειρες λύσεις (αρχίζοντας από p=q=1 εφαρμόζουμε τον αναδρομικό τύπο (p,q) \to (2p+q, 3p+2q)) υπάρχουν άπειρα κατάλληλα \displaystyle m = \frac{3pq+1}{2}.

Για n>2 τα πράγματα είναι πιο απλά. Ισχύει p(m^6) \geqslant n+1 λόγω των m^6+1, m^6+4,...,m^6+n^2, m^6+8.

Έχοντας αποδείξει το λήμμα, παρατηρούμε ότι το πλήθος των σπουδαίων αριθμών μικρότερων ή ίσων του N είναι το πολύ N^{1/3} \times N^{1/2} = N^{5/6}, οπότε η μέση απόσταση μεταξύ δύο σπουδαίων αριθμών αυξάνεται τουλάχιστον όπως N^{1/6}. Έτσι, υπάρχουν άπειρα m με p(m) = 0. Αφού, τέλος, |p(k+1)-p(k)|\leqslant 1, ο p(k) παίρνει άπειρες φορές όλες τις δυνατές τιμές μεταξύ του n+1 και του 0, οπότε υπάρχουν και άπειρα m με p(m)=n+1.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης