Vojtech Jarnik 2017/1 Category II

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 2017/1 Category II

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μάιος 25, 2017 9:40 am

Έστω ακολουθία (a_n) με a_n \in \{0,1\} για κάθε n \in \mathbb{N}. Ορίζουμε συνάρτηση F:(-1,1) \to \mathbb{R} ως

\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n.}

Αν το F(1/2) είναι ρητός, να δειχθεί ότι η F(x) είναι πηλίκο δύο πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Vojtech Jarnik 2017/1 Category II

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μάιος 25, 2017 10:03 am

Demetres έγραψε:Έστω ακολουθία (a_n) με a_n \in \{0,1\} για κάθε n \in \mathbb{N}. Ορίζουμε συνάρτηση F:(-1,1) \to \mathbb{R} ως

\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n.}

Αν το F(1/2) είναι ρητός, να δειχθεί ότι η F(x) είναι πηλίκο δύο πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.
Καλούλα.

Αφού το F(1/2) είναι το δυαδικό ανάπτυγμα του ρητού, σημαίνει ότι το ανάπτυγμα αυτό είναι είτε πεπερασμένο (δηλαδή μηδενικά από ένα σημείο και πέρα) ή περιοδικό. Η πρώτη περίπτωση δίνει αμέσως το ζητούμενο. Η δεύτερη ανάγεται σε άθροισμα της μορφής

(kati) + A+Ax^n+ Ax^{2n} + Ax^{3n}+... όπου A=a_kx^k+...+a_{k+n-1}x^{k+n-1} το περιοδικό κομμάτι. Το τελευταίο αθροίζεται ως γεωμετρική πρόοδος (παρονομαστής 1/(1-x^n)) από όπου αμέσως το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης