Σελίδα 1 από 1
Vojtech Jarnik 2017/1 Category I
Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 10, 2017 11:44 am
από Demetres
Έστω συνεχής συνάρτηση
η οποία ικανοποιεί την σχέση
για κάθε
.
Να αποδειχθεί ότι η
είναι σταθερή.
Re: Vojtech Jarnik 2017/1 Category I
Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 10, 2017 1:03 pm
από raf616
Demetres έγραψε:Έστω συνεχής συνάρτηση
η οποία ικανοποιεί την σχέση
για κάθε
.
Να αποδειχθεί ότι η
είναι σταθερή.
Γεια σας κ. Δημήτρη! Δε μου χρειάστηκε η συνέχεια.
Εναλλάσσοντας τα
λαμβάνουμε
για κάθε
.
Επομένως
για κάθε
.
Θέτοντας σ' αυτήν
είναι
για κάθε
από όπου για
το
παίρνουμε
για κάθε
, δηλαδή η
είναι σταθερή.
Re: Vojtech Jarnik 2017/1 Category I
Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 10, 2017 1:45 pm
από Demetres
raf616 έγραψε:
Γεια σας κ. Δημήτρη! Δε μου χρειάστηκε η συνέχεια.
Εγώ το πήγα με βάση την επίσημη λύση:
Θέτω
και παίρνω
. Αν
για κάθε
τότε τελείωσα. Αλλιώς, πρέπει
. Τώρα θέτω
και παίρνω
για κάθε
. Επαγωγικά παίρνω
για κάθε
και κάθε
. Παίρνοντας όρια και χρησιμοποιώντας την συνέχεια της
καταλήγουμε στην
για κάθε
.
Re: Vojtech Jarnik 2017/1 Category I
Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 10, 2017 10:37 pm
από AlexandrosG
Η παρακάτω λύση δεν συγκρίνεται με την απλότητα των προηγούμενων.
Έχουμε
Είτε η
είναι ταυτοτικά
ή
. Από εδώ κλασικά μέσω της συναρτησιακής εξίσωσης του Cauchy βρίσκουμε
. Βάζοντας την στην εξίσωση προκύπτει ότι
. Τελικά οι λύσεις είναι οι σταθερές
και
.