SEEMOUS 2017/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8541
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2017/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μαρ 05, 2017 1:40 pm

(α) Έστω μη αρνητικός ακέραιος n. Να υπολογιστεί το \displaystyle{ \int_0^1 (1-t)^n e^t \, \mathrm{d}t}

(β) Έστω μη αρνητικός ακέραιος k, και έστω η ακολουθία (x_n)_{n\geqslant k} η οποία ορίζεται με τον τύπο

\displaystyle{ x_n = \sum_{i=k}^n \binom{i}{k} \left(e - 1 - \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} - \cdots -\frac{1}{i!} \right)}

Να δειχθεί ότι η ακολουθία συγκλίνει και να υπολογιστεί το όριό της.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2017/4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 05, 2017 7:22 pm

Demetres έγραψε:(α) Έστω μη αρνητικός ακέραιος n. Να υπολογιστεί το \displaystyle{ \int_0^1 (1-t)^n e^t \, \mathrm{d}t}

(β) Έστω μη αρνητικός ακέραιος k, και έστω η ακολουθία (x_n)_{n\geqslant k} η οποία ορίζεται με τον τύπο

\displaystyle{ x_n = \sum_{i=k}^n \binom{i}{k} \left(e - 1 - \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} - \cdots -\frac{1}{i!} \right)}

Να δειχθεί ότι η ακολουθία συγκλίνει και να υπολογιστεί το όριό της.
Για το (α) προς το παρόν αφού για το (β) κάτι κάνω λάθος και δε μου βγαίνει. Θα το ξανά δω και αν δε με προλάβει κάποιος θα το δώσω.
\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{1} \left ( 1-t \right )^n e^t \, {\rm d}t &\overset{u=1-t}{=\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{1} u^n e^{1-u} \, {\rm d}u\\  
 &= e \int_{0}^{1}u^n e^{-u} \, {\rm d}u\\  
 &= e \gamma(n+1, 1)\\  
 &\!\overset{(*)}{=} e n!\left ( 1- e^{-1} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}  \right )\\  
 &= n! \left ( e - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \right )  
\end{aligned}} Η απάντηση προκύπτει και από n φορές παραγοντική ολοκλήρωση, αλλά είπα να πάρω έτοιμο το τύπο.

Τώρα το (β) είναι άμεση εφαρμογή του πρώτου αφού η ουρά που εμφανίζεται έχει άμεση σχέση με το ολοκλήρωμα στο πρώτο ερώτημα. Αλλά πρέπει να ξανά δω τις πράξεις μου.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8541
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2017/4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Μαρ 06, 2017 11:21 am

Βγαίνει και με το (α) αλλά θα βάλω μια λύση χωρίς αυτό:

Θέλουμε να υπολογίσουμε, αν υπάρχει, το \displaystyle{\sum_{i=k}^{\infty} \binom{i}{k} \sum_{r=i}^{\infty} \frac{1}{(r+1)!}}

Επειδή όλοι οι όροι είναι θετικοί, από Tonelli μπορούμε να ανταλλάξουμε την σειρά των αθροισμάτων. Παίρνουμε

\displaystyle{\sum_{r=k}^{\infty} \frac{1}{(r+1)!}\sum_{i=k}^{r} \binom{i}{k}  }

Όμως \displaystyle{ \sum_{i=k}^{r} \binom{i}{k} = \binom{r+1}{k+1} }. Πράγματι, το δεξί μέλος μετρά το πλήθος των τρόπων για να επιλέξουμε k+1 στοιχεία από το σύνολο \{1,2,\ldots,k+1\}. Αν το μεγαλύτερο στοιχείο του συνόλου που θα επιλέξουμε ισούται με i+1, τότε k \leqslant i \leqslant r και υπάρχουν \binom{i}{k} τέτοια σύνολα. Οπότε και το δεξί μέλος μετρά το ίδιο πλήθος.

Μένει λοιπόν να υπολογίσουμε το

\displaystyle{ \sum_{r=k}^{\infty} \frac{1}{(r+1)!} \binom{r+1}{k+1} = \frac{1}{(k+1)!}\sum_{r=k}^{\infty} \frac{1}{(r-k)!} = \frac{e}{(k+1)!}}


Άβαταρ μέλους
Zarifis
Δημοσιεύσεις: 107
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 15, 2011 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια

Re: SEEMOUS 2017/4

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Zarifis » Δευ Μαρ 06, 2017 7:31 pm

Αλλιώς σκιαγραφοντας την ιδεα, εύκολα βλέπουμε ότι είναι αύξουσα. Φραγμένη: Απο υπόλοιπο taylor σειράς το εσωτερικό είναι μικρότερο από \frac{e}{(i+1)!} .
Άρα μικρότερο από : \sum \frac{1}{(i-k)!k!} < 2\sum \frac{1}{i!}=2e . Άρα συγκλίνει.
Γράφοντας το ως το ολοκλήρωμα της Βετα(α ερώτημα) από fubinι κάνουμε εναλαγή κι έχουμε: \int_{0}^{1}\sum \binom{i}{k}\frac{(1-t)^i e^t}{i!}dt

Κι έχουμε: \sum \binom{i}{k}\frac{(1-t)^i}{i!}=1/k! \sum \frac{(1-t)^i}{(i-k)!}=\frac{(1-t)^k}{k!}  \sum \frac{(1-t)^i}{(i)!}=e^{1-t}\frac{(1-t)^k}{k!}
Άρα σύνολο e/k! B(k+1,1)


Τι νόημα έχει το όνειρο χωρίς μικρές νοθείες...
Νίκος Ζαρίφης-ΗΜΜΥ
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης