SEEMOUS 2017/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2017/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μαρ 05, 2017 1:37 pm

Έστω συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}. Να δειχθεί ότι

\displaystyle{ \int_0^4 f(x(x-3)^2) \, \mathrm{d}x = 2\int_1^3 f(x(x-3)^2) \, \mathrm{d}x}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2017/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μαρ 05, 2017 7:47 pm

Όμορφο! Φαινόταν εύκολο αλλά μάλλον δεν είναι.

Ορίζω συναρτήσεις g_1:[0,1] \to [0,4], g_2:[1,3] \to [0,4] και g_3:[3,4] \to [0,4] οι οποίες στέλνουν το x στο x(x-3)^2. Όλες οι συναρτήσεις είναι αντιστρέψιμες. Ας γράψουμε h_1,h_2,h_3 για τις αντίστροφες.

Τότε η αντικατάσταση x = h_1(t) δίνει

\displaystyle{ \int_0^1 f(x(x-3)^2) \, \mathrm{d}x = \int_0^4 \frac{f(t)}{g_1'(h_1(t))} \, \mathrm{d}t = \int_0^4 \frac{f(t)}{3(h_1^2(t) - 4h_1(t)+3)} \, \mathrm{d}t}

και ομοίως

\displaystyle{ \int_1^3 f(x(x-3)^2) \, \mathrm{d}x = -\int_0^4 \frac{f(t)}{3(h_2^2(t) - 4h_2(t)+3)} \, \mathrm{d}t}

και

\displaystyle{ \int_3^4 f(x(x-3)^2) \, \mathrm{d}x = \int_0^4 \frac{f(t)}{3(h_3^2(t) - 4h_3(t)+3)} \, \mathrm{d}t}

Θέλουμε να δείξουμε ότι \int_0^1 f(x(x-3)^2) \, \mathrm{d}x + \int_3^4 f(x(x-3)^2) \, \mathrm{d}x = \int_2^3 f(x(x-3)^2) \, \mathrm{d}x

Αρκεί λοιπόν να δειχθεί ότι για κάθε t \in [0,4] ισχύει ότι

\displaystyle{ \frac{1}{h_1^2(t) - 4h_1(t)+3} + \frac{1}{h_2^2(t) - 4h_2(t)+3} + \frac{1}{h_3^2(t) - 4h_3(t)+3} = 0}

Θα το δείξουμε για κάθε t \in (0,4) το οποίο επίσης είναι αρκετό.

Γράφω z = z_i = h_i(t). Τότε

\displaystyle{ 0 = z^3 - 6z^2 + 9z - t = (z-1)(z^2-5z+4) + 4-t}

οπότε

\displaystyle{ \frac{1}{z-1} = \frac{z^2 - 5z+4}{t-4}}

Επίσης,

0 = z^3 - 6z^2 + 9z - t = (z-3)(z^2-3z) -t

το οποίο δίνει

\displaystyle{ \frac{1}{z-3} = \frac{z^2 - 3z}{t}}

Άρα

\displaystyle{ \frac{1}{z^2-4z+3} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{z-3} - \frac{1}{z-1}\right) = \frac{1}{2}\left( \frac{z^2 - 3z}{t} + \frac{z^2 - 5z+4}{t-4}\right)}

Αλλά z_1 + z_2 + z_3 = 6 και z1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = 9 που δίνουν επίσης z_1^2+z_2^2+z_3^2 = 18.

Τώρα είναι άμεσο ότι

\displaystyle{ \sum_{i=1}^3 \frac{1}{z_i^2-4z_i+3} = 0}

αφού 18 + 6 \cdot (-3) = 0 = 18 - 5 \cdot 6 + 4 \cdot 3.

Οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Παναγιώτης 1729
Δημοσιεύσεις: 300
Εγγραφή: Τρί Αύγ 24, 2010 12:05 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: SEEMOUS 2017/3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παναγιώτης 1729 » Τρί Μαρ 07, 2017 12:13 am

Μία μικρή τροποποίηση στην παραπάνω λύση (κρατώντας τον ίδιο συμβολισμό):
Από τύπους Vieta, h_1+h_2+h_3=6(\Rightarrow{h_1'+h_2'+h_3'=0)} και με αλλαγή μεταβλητής (x=h_i(y)) στα 3 επιμέρους διαστήματα έχουμε
\displaystyle{\int_{0}^4f(x(x-3)^2) \mathrm{d} x}-2\int_{1}^{3}f(x(x-3)^2)\mathrm{d}x=\int_0^4f(y)(h_1'+h_2'+h_3')\mathrm{d}y=0.


Λώλας Παναγιώτης
christinat
Δημοσιεύσεις: 37
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: SEEMOUS 2017/3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christinat » Τρί Απρ 23, 2019 10:37 pm

Αν και είμαι β λυκείου θα κάνω μια προσπάθεια για την 3

Έστω ότι g:[0,4]\rightarrow \mathbb{R}
όπου g(x)=x(x-3)^{2}

Η παραγωγος της g θα είναι:g'(x)=3(x-3)(x-1)


Έστω S_{1}:(0,4)\rightarrow (0,1)

S_{2}:(0,4)\rightarrow (1,3)
S_{3}:(0,4)\rightarrow (3,4)

g_{1},g_{2},g_{3} αντίστροφες των S_{1},S_{2},S_{3} αντίστοιχα

Για κάθε a στο (0,4) ισχύει ότι
x_{1}=S_{1}(a) είναι η ρίζα της x(x-3)^{2}=a στο (0,1)

Το ιδιο ισχύει και για τις x_{2}=S_{2}(a) και x_{3}=S_{3}(a) στα διαστήματα (1,3) και (3,4) αντίστοιχα

Οποτε:
\int_{0}^{4}f(x(x-3)^{2})dx -2\int_{1}^{3}f(x(x-3)^{2})dx =\int_{0}^{1}f(g(x))dx -\int_{1}^{3}f(g(x))dx +\int_{3}^{4}f(g(x))dx =\int_{0}^{4}f(a)s_{1}(a)'da-\int_{4}^{0}f(a)s_{2}'(a)da+\int_{0}^{4}f(a)s_{3}'(a)da=\int_{0}^{4}f(a)(s_{1}'(a)+s _{2}'(a)+s_{3}'(a))da

Ισχύει ακόμη ότι S_{1}(a)+S_{2}(a)+S_{3}(a)=6

Άρα: S_{1}'(a)+S_{2}'(a)+S_{3}'(a)=0 σχεση από την οποία προκύπτει το ζητούμενο


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης