Σελίδα 1 από 1

SEEMOUS 2017/1

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 05, 2017 1:31 pm
από Demetres
Έστω πίνακας \displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}} με a,b,c,d \in \mathbb{R} και a^2 + b^2 + c^2 + d^2 < \frac{1}{5}.

Να δειχθεί ότι ο A+I είναι αντιστρέψιμος.

Re: SEEMOUS 2017/1

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 05, 2017 2:16 pm
από achilleas
Demetres έγραψε:Έστω πίνακας \displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}} με a,b,c,d \in \mathbb{R} και a^2 + b^2 + c^2 + d^2 < \frac{1}{5}.

Να δειχθεί ότι ο A+I είναι αντιστρέψιμος.
Είναι

|a|< \dfrac{1}{\sqrt{5}}, οπότε a+1>1-\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}>\dfrac{1}{\sqrt{5}}

Ομοίως, d+1>\dfrac{1}{\sqrt{5}}

Συνεπώς, (a+1)(d+1)>\dfrac{1}{5}>|bc|\geq bc

κι άρα ο A+I έχει θετική ορίζουσα, οπότε αντιστρέφεται.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: SEEMOUS 2017/1

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 05, 2017 7:13 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Αλλιώς (η λύση του Αχιλλέα είναι σαφώς καλύτερη)

(\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |+\left | d \right |)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})4

Αρα

(\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |+\left | d \right |)<1

συμπεραίνουμε ότι \left \| A \right \|_{1}< 1

Είναι γνωστό ότι ο I+A είναι αντιστρέψιμος.

Αυτό οφείλετε στο ότι I-(-A)^{n}=(I+A)(I+(-A)+(-A)^{2}+....+(-A)^{n-1})

και \lim_{n\rightarrow \infty }A^{n}=0

Re: SEEMOUS 2017/1

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 05, 2017 7:41 pm
από AlexandrosG
Άλλη μια λύση: Αν ο A+I δεν είναι αντιστρέψιμος τότε ο A έχει ιδιοτιμή το -1. Άρα υπάρχει ιδιοδιάνυσμα x=(u,v) ώστε Ax=-x που δίνει au+bv=-u και cu+dv=-v. Παρατηρούμε ότι \displaystyle{u^2+v^2=(au+bv)^2+(cu+dv)^2 \leq (a^2+b^2)(u^2+v^2)+(c^2+d^2)(u^2+v^2)} και διαιρώντας με u^2+v^2 \neq 0 παίρνουμε 1 \leq a^2+b^2+c^2+d^2<\frac{1}{5} που είναι άτοπο. Άρα ο A+I είναι αντιστρέψιμος.